Министерство образования и науки Российской Федераций

Саратовский государственный технический университет

Н.С. Землянухииа, Л.А. Лисицкий, Д.Г.Павлов, Ю.В. Чеботаревский,

О.А. Ягубова

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

СТАТИКА И КИНЕМАТИКА

Учебное пособие по решению задач

для студентов заочной формы обучения

Издание третье

Саратов 2011

УДК 374.77(075.8)

ББК 67.99(2)3

3 53

Рецензенты: Кафедра вычислительного эксперимента в механике

Саратовского государственного университета

Кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов

и строительной механики Российского государственного

открытого технического университета путей сообщения

В.Е. Гришунин

Одобрено

редакциоино-издательским советом

Саратовского государственного технического университета

Землянухина Н.С., Лисицкий Л.А., Павлов Д.Г., Чеботаревский Ю.В., Ягубова О.А.

3 53 Теоретическая механика. Статика и кинематика: Учебное пособие по решению задач. Издание третье. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2009. 108 с. ISBN 5-7433-1368-7

Учебное пособие содержит краткое изложение основных теоретических положений курса теоретической механики по разделам «Статика» и «Кинематика», методы решения задач и примеры их решения.

Предназначено для студентов заочной формы обучения высших технических учебных заведений, имеющих в своей программе курс «Теоретическая механика».

УДК 374.77(075.8) ББК 67.99(2)3

© Саратовский государственный

технический университет,2002,2004,2009

© Землянухина Н.С., Лисицкий Л.А.,

Павлов Д.Г., ЧеботаревскийЮ.В.,

ISBN 5-7433-1368-7 Ягубова О.А., 2002,2004,2009

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика - наука, изучающая механическое движение материальных тел, то есть изменение с течением времени положения их относительно друг друга. Так как состояние покоя есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел.

Движение материи происходит во времени и в пространстве. Для изучения движения вводят систему отсчета, понимая под ней совокупность тела отсчета (тела, относительно которого изучается движение других тел) и связанных с ним системы координатных осей и часов (измерителей времени). В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и оно одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета (абсолютное время). Поэтому, говоря о системе отсчета, можно ограничиться только указанием тела отсчета или системы координатных осей, связанных с этим телом.

Теоретическая механика построена на законах И.Ньютона, справедливость которых проверена огромным количеством непосредственных наблюдений и экспериментов. Законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета. Системы отсчета, в которых эти законы справедливы, называются инерциалъными (часто инерциальные системы условно называют неподвижными). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой отсчета. Такую систему отсчета называют гелиоцентрической.

Доказано, что любая система отсчета, точка начала которой перемещается с постоянной по модулю и направлению скоростью относительно инерциальной системы отсчета, а оси не изменяют углового положения относительно осей инерциальной системы отсчета, также является инерциальной. Во многих задачах за инерциалъную систему отсчета принимают систему, связанную с Землей. Ошибки, возникающие при этом, как правило, столь незначительны, что практического значения не имеют.

Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей математический аппарат при анализе этих результатов. Но, как правило, никакое природное явление невозможно охватить во всем его многообразии. Поэтому одной из основных задач в механике является проблема выделения в изучаемом явлении главного, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, что менее существенно, второстепенно. Абстрагируясь при механическом движении материальных тел от всего частного, случайного, пришли к рассмотрению различных моделей материальных тел, представляющих ту или иную степень абстракции.

Материальной точкой называется материальное тело, обладающее конечной массой, но столь малых размеров, что при решении данной задачи различием в движении отдельных его точек можно пренебречь.

Материальное тело называется свободным, если на его перемещение в пространстве не наложено никаких ограничений, в противном случае оно называется несвободным.

Системой материальных точек называется совокупность материальных точек, выделенных по тому или иному признаку.

Механической системой называется система материальных точек, которая обладает тем свойством, что движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек системы.

Если точки системы или тела связаны между собой неизменно, т. е. так, что взаимное расстояние между двумя любыми точками остается постоянным, то такая система называется неизменяемой системой, а тело — абсолютно твердым телом; в противном случае система называется изменяемой, а тело - деформируемым.

Далее в тексте пособия будет введен еще ряд абстрактных понятий, необходимых для выделения в изучаемых явлениях главных, определяющих ход процесса, факторов.

Настоящее пособие предназначено для использования студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных работ по теоретической механике. Оно ни в коей мере не подменяет существующие учебники и не может заменить их. В пособии в концентрированной форме излагается теоретический материал, необходимый для решения задач, приводятся методика решения и подробные примеры.

Традиционно теоретическая механика делится на три раздела: статику, кинематику и динамику.

В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия, а также определяются возможные положения равновесия.

В кинематике движение тел рассматривается с чисто геометрической точки зрения, то есть без учета силовых взаимодействий между телами.

В динамике движение тел изучается в связи с силовыми взаимодействиями между телами.

Это пособие содержит только первую и вторую части - статику и кинематику.

1. Статика

1.1. Основные понятия и определения

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого тела могут изменять движение или деформироваться (изменять форму). Сила является векторной величиной. Она характеризуется числовым значением или модулем, точкой приложения и направлением. Прямая, проходящая через точку приложения силы и совпадающая с ее направлением, называется линией действия силы. Вектор силы принято обозначать латинской буквой с символом вектора - чертой сверху. Модуль вектора будем обозначать той же буквой, но без символа вектора. На рис. 1.1 -вектор силы, А- точка приложения, LM -линия действия.

В международной системе единиц измерения физических величин (СИ) за единицу измерения модуля силы принят ньютон (Н).

Рис. 1.1

Точка взаимодействия материальных тел является абстракцией, которая не всегда справедлива. Иногда приходится указывать линию, поверхность или даже объем взаимодействия материальных тел. В этих случаях принято говорить, что на тело действует распределенная сила. Распределенные силы задаются их интенсивностью. Интенсивность равна отношению силы, приходящейся на предельно малую часть линии, поверхности или объема тела в окрестности данной точки, к площади этой части линии, поверхности или объема тела. Соответственно размерность интенсивности в системе СИ: Н/м, Н/м² или Н/м³.

Проекцией силы (как и любого другого вектора) на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.

Если этот угол острый, - проекция положительна, если тупой -отрицательна, если прямой - равна нулю. Геометрически проекцию силы на ось можно интерпретировать как взятую с соответствующим знаком длину отрезка, отсекаемого от оси перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора силы (рис. 1.3).

Рис. 1.2

Так, для сил, изображенных на рис. 1.2, будем иметь

F_x =Fcos(π -α) = -Fcosa; F_y = Fcos(+ α)=-Fsinα;

P_x=P cos β; P_y=Pcos(-β) = Psinβ.

Проекцией силы на плоскость называется вектор, ограниченный перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора силы на заданную плоскость. Проекцию вектора на координатную плоскость принято обозначать той же буквой латинского алфавита, что и вектор силы, с двойным нижним индексом соответственно наименованию осей, через которые проходит плоскость (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Вектор может быть определен не только через модуль и направление в пространстве, но и через проекции на оси декартовой системы координат.

= F_x+F_y+F_z,

где ,, - орты (единичные вектора), определяющие направление осей координат; F_x,F_y,F_z- проекции силы на соответствующие координатные оси.

Совокупность сил (₁, ₂,... _n), действующих на какую-либо механическую систему, в частности, твердое тело, называется системой сил. Символически система сил обозначается ().

Система сил, которая, действуя на свободное твердое тело, находящееся в покое, не сообщает ему никакого движения, находится в равновесии, или, иначе говоря, эквивалентна нулю.

Если направления всех сил какой-либо системы () изменить на противоположные, сохраняя точки их приложения, то получается система сил ('), которая называется противоположной системе (). Символически это обозначается так:

(') = (-).

Если две системы сил (₁) и (₂), действующие одновременно на свободное твердое тело, находятся в равновесии, то говорят, что система сил (₁) уравновешивает систему сил (₂), и наоборот.

Если система сил (₁) уравновешивается системой сил, противоположной системе (₂), то системы сил (₁) и (₂)называются эквивалентными. Символическое обозначение (₁)~ (₂).

В том случае, когда система сил () эквивалентна одной силе R, то есть:

() ~ ,

последняя называется равнодействующей данной системы сил. Не всякая система сил имеет равнодействующую.

Если все силы, действующие на твердое тело, образуют систему сил, находящуюся в равновесии, то говорят, что и само тело находится в равновесии.

Из последнего определения следует, что под состоянием равновесия твердого тела (а в дальнейшем и механической системы) мы будем понимать те состояния, которые тело может иметь под действием уравновешенной системы сил, т. е. состояние покоя или инерциального движения; какое именно из этих состояний имеет место, с точки зрения задач, рассматриваемых в статике, несущественно.

Силы, действующие на данное тело или механическую систему, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, которые действуют на это тело или механическую систему со стороны других тел или точек, не входящих в данную систему, а внутренними - силы, с которыми части данного тела (или точки данной системы) действуют друг на друга.