- •Элементарные функции Степень и степенная функция с натуральным показателем
- •40. , Если
- •Степень и степенная функция с целым отрицательным показателем
- •20. , Если
- •40. , Если
- •2. Если – чётное, то функция – чётная. Если – нечётное, то функция – нечётная.
- •Показательная функция с рациональным показателем
- •Понятие степени с иррациональным показателем.
- •Показательная функция с действительным показателем
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции: синус, косинус.
Показательная функция с действительным показателем
Определение. Показательной функцией с действительным показателем называется функция вида , , .
Свойства.
-
После того как было введено понятие степени положительного числа с любым рациональным и иррациональным показателем можно сказать, что показательная функция определена на множестве действительных чисел.
-
Функция принимает лишь положительные значения.
-
Если , то при , и при .
Если , то при , и при .
-
Характеристическое свойство:
Следствие 1.
Следствие 2.
-
Функция строго возрастает на множестве действительных чисел при и строго убывает на этом множестве при .
-
-
Функция непрерывна на множестве действительных чисел.
-
и
-
Множеством значений функции является интервал .
Логарифмическая функция
Функция вводится как обратная функция к показательной функции.
Пусть . Рассмотрим функцию . Она непрерывна и строго возрастает на множестве , причём существует и . Тогда по теореме о существовании обратной функции в случае интервала получаем, что на интервале существует функция, обратная данной, непрерывная и строго возрастающая на интервале . Будем обозначать её и называть – логарифмической функцией по основанию . Переходя к принятому обозначению аргумента через , запишем функцию в виде .
Свойства.
-
Функция определена на интервале .
-
Функция строго возрастает на .
-
Функция непрерывна на .
-
Множеством значений является интервал .
-
Из того что , а получаем тождества и .
-
, где .
-
, где .
-
, где .
-
-
Аналогично вводится логарифмическая функция по основанию при , которая по теореме о существовании обратной функции обладает свойствами:
-
Функция определена на интервале .
-
Функция строго возрастает на .
-
Функция непрерывна на .
-
Множеством значений является интервал .
-
-
Тригонометрические функции: синус, косинус.
Рассмотрим на плоскости единичный круг. Примем точку за начальную точку на окружности. Пусть точка – произвольная точка окружности и может двигаться по окружности по и против часовой стрелки. Движение точки против часовой стрелки считается положительным направлением. Движение не ограничивается одним оборотом.
Пусть точка движется в положительном направлении. Положение точки на окружности можно определить длиной дуги . Так как , то длина численно совпадает с радианной мерой угла между вектором и положительным направлением оси .
Определение. Абсцисса и ордината точки являются функциями величины и называются косинусом и синусом аргумента , при этом
, .
Так как – координаты точки единичной окружности, то , .
Свойства функций.
-
-
Функции – периодические с периодом , , и наименьшим положительным периодом
-
Функции , непрерывны в интервале .
Доказательство. Возьмём любое и покажем, что функция непрерывна в , то есть , то есть для любого существует , такое что для любых , таких что выполняется неравенство
. (1)
Таким образом,
(2)
Положим
(3)
Выберем . Тогда из неравенства (3) в силу транзитивности неравенств (2) и (3) получаем неравенство (1). Следовательно, . В силу произвольности выбора точки получаем, что функция непрерывна в .
Непрерывность в функции доказывается аналогично (доказать самостоятельно). Ч.Т.Д.
-
Функция возрастает на и убывает на . Функция возрастает на и убывает на .
Доказательство. Покажем, что функция возрастает на . Пусть , при этом . Найдём
Аналогично: , но так как , то .
Тогда , . Отсюда и .
Аналогично доказываются остальные утверждения. Ч.Т.Д.
-
, где
Доказательство. Пусть . Тогда
Разделим на :
для любого .
Покажем, что последнее неравенство выполняется и для . Если , то . Тогда . Отсюда .
Итак, для любого , . Причём . Тогда по теореме (если в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство и , то ) получаем, что . Ч.Т.Д.
-
,
Доказательство. Докажем . Возьмём произвольную точку и выберем приращение аргумента , такое что . Тогда приращение функции . Найдём :
Таким образом, . Аналогично доказывается . Ч.Т.Д.
-
для любого
для любого
для любого
для любого
-
Множество значений
Доказательство. Известно, что для любого . Возьмём произвольное и покажем, что существует , такое что .
Функция непрерывна и строго возрастает на , при этом и . Тогда по свойству функции, непрерывной на отрезке получаем, что для любого существует хотя бы одно , такое что .
Свойство для функции доказывается аналогично. Ч.Т.Д.
-
Формулы приведения для функций с аргументами , , , .
Доказательство. Рассмотрим в плоскости единичную окружность и точку на данной окружности. Повернём систему на угол , получив систему , при этом точка перейдёт в точку . Тогда , .
Известно, что , , , . Отсюда получаем, что , .
Аналогичным образом доказываются остальные формулы приведения. Ч.Т.Д.
-
Формулы сложения
Доказательство. В системе : , . Тогда
Повернём оси координат на угол , тогда в новой системе : , :
Таким образом
Отсюда
Заменим . Тогда
Отсюда
Ч.Т.Д.
-
Формулы двойного аргумента: