- •Элементарные функции Степень и степенная функция с натуральным показателем
- •40. , Если
- •Степень и степенная функция с целым отрицательным показателем
- •20. , Если
- •40. , Если
- •2. Если – чётное, то функция – чётная. Если – нечётное, то функция – нечётная.
- •Показательная функция с рациональным показателем
- •Понятие степени с иррациональным показателем.
- •Показательная функция с действительным показателем
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции: синус, косинус.
Понятие степени с иррациональным показателем.
Пусть – иррациональное число, а .
Определение. Степенью числа с иррациональным показателем называется действительное число , такое что для любых , таких что выполняется неравенство , если , и , если . Если же , то полагаем .
Обозначение: .
Теорема существования и единственности. Каково бы ни было число и , и каково бы ни было иррациональное число существует число , являющееся степенью числа с показателем и оно единственно.
Доказательство существования. Докажем для случая .
Пусть – иррациональное число. Докажем, что существует число , такое что для любых , таких что выполняется неравенство .
Рассмотрим возрастающую последовательность десятичных приближений числа с недостатком
(1)
И убывающую последовательность десятичных приближений числа с избытком
(2)
В силу возрастания функции () на множестве рациональных чисел из неравенства (1) следует
, (3)
а из неравенства (2)
. (4)
Любой член последовательности (1) удовлетворяет неравенству для любого натурального . Поэтому для любого натурального . Это неравенство говорит о том, что возрастающая последовательность (3) ограничена сверху числом . Тогда по теореме о существовании предела монотонной ограниченной последовательности получаем, что последовательность (3) имеет конечный предел. Обозначим его через , то есть .
Докажем, что последовательность (4) имеет такой же предел. Так как , то
(5)
Следовательно, по свойству (5) показательной функции с рациональным показателем получаем, что . Найдём :
Итак
(6)
Известно, что если последовательность стремится к своему пределу, возрастая (убывая), то любой член последовательности () своего предела. Поэтому для любого натурального
, (7)
где (8)
Докажем, что – это степень числа с показателем . Для этого надо показать, что неравенство вида (7) верно не только для десятичных приближений числа , но и для любых рациональных чисел и , таких что
. (9)
Возьмём два произвольных рациональных числа и из неравенства (9) и зафиксируем их на момент рассуждений. Рассмотрим последовательность отрезков, концы которых берутся из последовательностей (1) и (2): .
Из равенства (%) получаем, что длина -го отрезка стремится к нулю при . Значит среди этих отрезков найдётся хотя бы один, длина которого меньше расстояния от до ближайшего конца отрезка . Обозначим этот отрезок .
Так как оба отрезка и содержат внутри себя точку , то учитывая длину последнего отрезка получаем, что весь отрезок , то есть выполняются неравенства
(10)
Из неравенства (10) в силу возрастания функции () на множестве рациональных чисел получаем
. (11)
Так как неравенство (7) справедливо для любых десятичных приближений десятичных приближений числа , то оно верно и для и , то есть . Тогда учитывая неравенство (11) получаем, что
. (*)
Итак, каковы бы ни были рациональные числа и из неравенства (9), число удовлетворяет неравенству , а это означает по определению степени, что – степень числа с иррациональным показателем . Таким образом, существование доказано.
Доказательство единственности. Докажем для случая .
Пусть наряду с , которое получено как предел последовательностей (3) и (4), существует другое число , удовлетворяющее неравенствам (12) для любых , таких что .
Так как неравенство (*) верно для любых рациональных чисел, то оно верно и для любых десятичных приближений числа , то есть . Перейдём в этом неравенстве к пределу при :
С учётом (6) получаем , отсюда , то есть число единственное.
В случае доказательство аналогично. Ч.Т.Д.
Замечание 1. В процессе доказательства существования степени с иррациональным показателем в силу (6) мы показали, что , где и – две последовательности десятичных приближений числа с недостатком и избытком. Покажем, что
(12)
Доказательство. Из возрастания последовательности (1) и ограниченности последовательности сверху, а также из убывания последовательности (2) и ограниченности последовательности снизу, следует существование пределов этих последовательностей. Так как в силу (5) , то . Учитывая, что для любого натурального , после перехода к пределу в последнем неравенстве получаем равенство (12).
Следствие. Для того чтобы число было степенью числа с иррациональным показателем необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к , то есть если , где для любых , то .
Так как данное условие является необходимым и достаточным, то его можно принять за определение степени числа с иррациональным показателем .
Замечание 2. Определение степени с иррациональным показателем можно применить и для случая рационального показателя.