Методические рекомендации (материалы) для преподавателя

Основным в идеологии дисциплины «Математические основы теории систем» является усвоение основных понятий, формул разделов дискретной математики, включённых в данный курс, алгебры высказываний и булевых функций, овладение навыками решения типовых задач и приёмами комбинаторного мышления.

В разделе I «Элементы теории множеств» достаточно изложить основы канторовской («наивной») теории множеств. Во введении можно дать сведения о становлении теории множеств в конце XIX века, о её современной проблематике и тенденциях исследования. Основные понятия канторовской теории множеств достаточно просты и сразу усваиваются студентами. Очень полезны в методическом аспекте круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна), ими следует активно пользоваться для разъяснения операций над множествами и решения задач. Вместе с тем студенты должны понимать, что эти круги являются не более, чем наглядным средством знакомства с теорией множеств. Строгие математические доказательства и решения задач они должны проводить на основе логических рассуждений, используя круги Эйлера как вспомогательное средство. На практикуме по теме студенты должны научиться доказывать тождества с множествами аналитическими (по определению равенства множеств) и алгебраическими (используя формулы алгебры множеств) методами. Решение таких задач способствует развитию навыков формальных логических рассуждений.

Поскольку в теме 2 «Отношения и функции» не предусмотрен практикум, для лучшего усвоения вводимых конструкций следует на лекции доказать хотя бы по одному свойству декартова произведения, бинарного отношения, функции. При этом ещё раз будет продемонстрирован метод формальных логических рассуждений. Специальные бинарные отношения и отношения порядка нужно иллюстрировать примерами, лучше из элементарной арифметики или геометрии.

В теме 3 «Мощность множеств» нужно, чтобы студенты осознали канторовскую идею отождествления «величины» множеств по их эквивалентности (взаимнооднозначному соответствию). Теорию кардинальных чисел можно дать обзорно, но с обязательным описанием шкалы кардинальных чисел с иерархией бесконечностей.

При изложении раздела II «Комбинаторика» следует в полной мере продемонстрировать метод комбинаторных рассуждений для доказательства формул и решения задач. В начале раздела нужно перечислить основные области комбинаторики, кратко описать её проблематику, подчеркнуть сложность задач при их элементарной формулировке. Следует также дать краткий исторический очерк развития комбинаторики и сказать о её бурном развитии в связи с распространением цифровых технологий и возросшей сложности и объёмности вычислений. При выводе формул нужно отдавать предпочтение чисто комбинаторным методам.

Основная трудность для студентов в этом разделе – решение задач. На практических занятиях рекомендуется решать задачи на типичные комбинаторные схемы с выводом соответствующих формул. Настаивать на запоминании формул (кроме основных) не нужно, важно овладение навыками комбинаторных рассуждений. Для демонстрации принципа включений и исключений можно решить на лекции некоторые задачи: подсчёт количества элементов в объединении множеств, беспорядочных перестановок, вывод формулы функции Эйлера и другие по выбору преподавателя.

При прохождении темы 6 «Производящие функции» студентам даётся представление о методах комбинаторного анализа. При введении производящей функции можно дать краткие сведения из теории степенных рядов. Не следует вдаваться в проблемы сходимости, операции над производящими функциями должны вводиться формально. Обязательно нужно продемонстрировать технику работы с ними на примерах. Можно в начале темы познакомить аудиторию с числами Фибоначчи рассказать об их важности в математике. В дальнейшем при изложении рекуррентных соотношений их нужно рассмотреть подробно. На многочисленных примерах следует показать студентам эффективность и красоту метода производящих функций и его незаменимость в комбинаторике.

При обучении технике решения линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами очень помогает аналогия с соответствующими дифференциальными уравнениями.

При изложении теории графов нужно с самого начала подчеркнуть, что граф - абстрактный теоретико-множественный объект, а не «фигура из точек и соединяющих их дуг». Все определения следует давать в терминах теории множеств, иллюстрируя их для наглядности диаграммами. Студенты должны твёрдо усвоить, что диаграмма – это всего лишь наглядная геометрическая интерпретация, один из способов задания графа, причём не самый важный, а не сам граф. Соответственно, все теоремы нужно формулировать и доказывать строго аналитически, привлекая диаграммы только для наглядной иллюстрации рассуждений. Сначала строгое доказательство, а потом, если надо, рисунок. Определение потока в сети должно быть абстрактно-формальным, а не «графическим». Математическая абстракция при изложении теории графов необходима для глубокого понимания структуры взаимосвязей и законов функционирования сложных систем, описываемых средствами теории, что, в свою очередь, необходимо для умения моделирования таких систем.

Введение каждого понятия должно сопровождаться сопутствующими сведениями. Например, при изложении степени вершины графа надо дать определения звезды, полустепеней захода и исхода вершины орграфа, привести утверждения о свойствах степеней. При изложении способов задания следует подробно разобрать матричные и подчеркнуть их важность для программирования.

Лабораторное занятие, посвящённое графам, состоит в выдаче первой части расчётно-графической работы (РГР). Варианты задания берутся из [1] в списке основной литературы для студентов. Преподаватель сам определяет включаемые задачи. Для каждой кратко излагается алгоритм по шагам и разбирается один пример. Следует помнить, что алгоритм построения потока минимальной стоимости очень трудоёмкий, поэтому нужно иметь заранее решённый пример (можно взять из [1] в списке основной литературы) и изложить его на лабораторном занятии, опуская вспомогательные вычисления.

Раздел IV «Теория булевых функций» следует дать как можно подробнее, поскольку эта теория имеет самое широкое применение в вычислительной технике и информатике. Введение основных понятий логики высказываний необходимо для дальнейшего изложения, однако, как правило, эти понятия легко усваиваются студентами, кроме того, они активно используются в последующем, поэтому достаточно дать их определения с небольшим количеством примеров. В начале первой лекции нужно дать общефилософское введение в предмет математической логики и краткий исторический обзор развития этой науки (от Аристотеля, античных логических школ, средневековой схоластики к основоположникам современной логики Лейбницу и Булю, проблематике современных исследований и результатов Гёделя, Гильберта, Бернайса, Рассела, Тарского и других). Следует с самого начала подчеркнуть абстрактно-формальный характер логических конструкций и методов и апеллировать к интуиции только в начале изложения, постепенно полностью вытесняя интуицию из рассуждений.

При введении основных понятий нужно, чтобы студенты хорошо усвоили индуктивный характер определения формул логики высказываний, алгебры логики. Здесь студенты знакомятся с основным принципом формальной логики: корректность логических конструкций и утверждений распознаётся на основе точно определённых формальных понятий и процедур, а не с помощью интуиции и «здравого смысла». Этот принцип должен прочно укорениться в сознании студента.

Метод истинностных таблиц, применяемый для решения простейших задач логики высказываний и алгебры булевых функций, как правило, не вызывает затруднений у студентов, поэтому на лекции достаточно ограничиться одним примером, а на аудиторном практическом занятии можно разобрать по одному примеру каждого типа задач, а дальнейшее усваивание этого метода отнести к самостоятельной работе.

При прохождении тем 11 – 14 основной упор делается на решение задач. Сами методы преобразования булевых функций и их приведения к нормальным формам и полиному Жегалкина просты. Трудность для студентов заключается в большом количестве формул и объёме вычислений. Поэтому желательно на лекции (при наличии времени) разобрать по примеру каждого вида задач, а на практикуме необходимо решить как можно больше задач и дать объёмное задание на вторую часть РГР. При этом, опять-таки, табличные методы не представляют трудностей, поэтому для них актуальны указания предыдущего абзаца.

В теме 17 студенты должны усвоить различные методы построения сокращенных и минимальных ДНФ. Необходимо подробно разобрать структуру граней и интервалов n-мерного единичного куба, демонстрируя в качестве наглядного примера трёхмерный куб. Тогда появится глубокое понимание идеи построения сокращённых ДНФ и методики решения задач.

Во всех темах, кроме тех, которые рекомендуется давать обзорно, должны присутствовать хотя бы одно доказанное утверждение или теорема, или хотя бы одна выведенная формула, или разобранный типичный пример. Для получения хорошей или отличной оценки за вопрос студент должен изложить доказательство утверждения, формулы или решение примера.

В библиотеке БГТУ пока нет в достаточном количестве задачников по данной дисциплине. Поэтому преподаватель должен иметь свой сборник задач, из которого будет давать задачи для домашнего решения. Из наиболее известных задачников можно рекомендовать [2] из списка дополнительной литературы для студентов и [6] из списка дополнительной литературы для преподавателя. Варианты лабораторных работ и РГР разрабатывает преподаватель. Можно использовать как образцы задачи из [6] (булевы функции) в списке дополнительной литературы для преподавателя.