- •35.Комплексні числа та дії з ними в тригонометричній формі.
- •37. Властивості невизначеного інтеграла
- •38.Метод підстановки (заміна змінної інтегрування) інтегрування частинами
- •39.Інтегрування раціональних дробів.
- •41.Інтегрування ірраціональностей виду
- •42. Інтегрування диференціального бінома
- •44.Поняття визначеного інтеграла. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •45.Формула Ньютона-Лейніца.
- •68.Відокремлені і відокремлюванні зміні.
- •55. Властивості чр
- •62Абсолютна і умовна збіжність ряду.
- •60. Інтегральна ознака коші Збіжності ряду
- •52. Застосування інтегралів в економіці
- •58. Ознака Даламбера
- •64.Радіус збіжності
- •Виведемо формулу для знаходження радіуса збіжності ряду. Для цього побудуємо ряд із абсолютних величин членів ряду:(1):
- •74. Структура заг.Розв.Лінйного неоднорідного др.
- •46.Заміна змінних у визначеному інтегралі. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •47.Невласні інтеграли 1 і 2 роду.
34.Комплексні числа та дії з ними в алгебраїчній формі.
Означення. Комплексним числом називається число виду , де a, b — дійсні числа, і2 = – 1. Число а називається дійсною частиною, bi — уявною частиною, і — уявною одиницею. Множина комплексних чисел позначається С.Означення. Комплексні числа виду a + bi і a – bi називаються спряженими. Комплексні числа виду a + bi і – a – bi називаються протилежними. Спряжене до комплексного числа z позначається .Означення. Два комплексних числа a + bi і a1 + b1i вважаються рівними в тому і тільки в тому випадку, якщо a = a1 і b = b1.Зауваження. Щодо комплексних чисел не прийнято жодної угоди, яке з них вважати більшим.
Додавання: (a + bi) + (a1 + b1і) = (a + a1) + (b + b1)i.
Віднімання: (a + bi) – (a1 + b1i) = (a – a1) + (b – b1)i.
Множення: (a + bi)(a1 + b1i) = aa1 + a1bi + ab1i + bb1i2=(aa1 – bb1) + (a1b + ab1)i.
Ділення:
Піднесення до степеня: спочатку знайдемо результати від піднесення до степеня уявної одиниці, знаючи, що за умовою і2 треба вважати таким, що дорівнює – 1.
35.Комплексні числа та дії з ними в тригонометричній формі.
Додавати і віднімати комплексні числа простіше і зручніше, коли компоненти подані в алгебраїчній формі. Зовсім інша річ з останніми чотирма алгебраїчними діями.
Множення. Нехай треба перемножити числа:
, .
Дістанемо:
Звідси випливає:
Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добуткові модулів співмножників, а аргумент — сумі аргументів співмножників.
36.Невизначений інтеграл та його геометрична інтерпретація. Означення. Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(x) на проміжку І, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку І і позначається
, ,
де — знак невизначеного інтеграла;
f(x) — підінтегральна функція;
f(x)dx — підінтегральний вираз;
dx — диференціал змінної інтегрування.
Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає в тому, що функція є рівняння однопараметричної сім’ї кривих, які утворюються одна з одної паралельним перенесенням уздовж осі ординат
37. Властивості невизначеного інтеграла
а) Властивості, що випливають із означення ,
І.Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .
ІІ.Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
ІІІ. .
б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.
IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто
V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто
,
38.Метод підстановки (заміна змінної інтегрування) інтегрування частинами
Мета методу підстановки — перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.
Теорема 4. Якщо f(x) — неперервна, а має непе- рервну похідну, то:
Наслідок.
Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не залежить від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи сама є функцією (на підставі інваріантності форми запису першого диференціалу), тому, наприклад:
У такому розумінні слід розглядати і всю таблицю інтегралів.
Інтегрування частинами
Теорема 3. Якщо функції u(x) та v(x) мають неперервні похідні, то:
На практиці функції u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом:
— при інтегруванні частинами підінтегральний вираз розбивають на два множники типу u dv, тобто ; при цьому функція u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалась, а за dv беруть залишок підінтегрального виразу, який містить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.
39.Інтегрування раціональних дробів.
Означення. Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.
Означення. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена в чисельнику менший від степеня многочлена в знаменнику, тобто n < m; якщо n m, то дріб називається неправильним.
Теорема 5. Будь-який неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена (цілої частини) та правильного раціонального дробу.
Означення. За домовленістю найпростішими раціональними дробами називаються такі дроби чотирьох типів:
І.; ІІ. ; ІІІ. ; IV. ,
де , інтеграли від яких мають вигляд
І. ;
ІІ. ;
ІІІ. — розглянуто в (7.1.9);
IV. — інтегрується за допомогою рекурентних формул.
Теорема 6. Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченної кількості найпростіших дробів, використовуючи такі правила:
1). Якщо ,, то
;
2). Якщо , то
,
де Аі, Ві, і = — деякі коефіцієнти, та — правильні раціональні дроби.