Розділ 10. Рівняння у частинних похідних. Тема 88. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку, їх характеристики, зведення до канонічного вигляду.

Тема 89. Хвильове рівняння, розв’язування методом Даламбера.

Тема 90. Розв’язування хвильового рівняння методом Фур’є.

Тема 91. Рівняння теплопровідності (дифузії), його розв’язування методом Фур’є.

Тема 92. Рівняння Лапласа.

Тема 93. Функції Бесселя, їх застосування при розв’язуванні рівнянь у частинних похідних.

Розділ 11. Функції комплексної змінної.

Тема 94. Комплексні числа (огляд), функції комплексної змінної, границя, неперервність.

Тема 95. Похідна функції комплексної змінної, умови Коші-Рімана.

Тема 96. Інтегрування функцій комплексної змінної, центральна теорема Коші.

Тема 97. Конформні відображення. Відображення за допомогою лінійної та дробово лінійної функцій.

Тема 98. Відображення за допомогою степеневої та інших функцій.

Тема 99. Ряди Тейлора. Ряди Лорана. Класифікація ізольованих особливих точок.

Тема 100. Лишки, їх обчислення та застосування.

Розділ 12. Операційне числення (на базі оператора Лапласа).

Тема 101. Оригінал та зображення за Лапласом, властивості зображення, зображення стандартних оригіналів. Ідея операційного числення.

Тема 102. Зображення похідної. Згортка функцій та її зображення. Зображення інтеграла.

Тема 103. Диференціювання та інтегрування зображень.

Тема 104. Обернене перетворення Лапласа.

Тема 105. Застосування операційного числення, розв’язування диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь.

Тема 106. Z-перетворення, властивості, застосування.

Розділ 13. Варіаційне числення.

Тема 107. Функціонал, екстремум, варіація. Історичні задачі варіаційного числення (задачи про брахістохрону, ізопериметрична задача).

Тема 108. Рівняння Ейлера у різних стандартних випадках, рівняння Ейлера-Пуассона.

Тема 109. Прямі методи варіаційних задач.

Тема 110. Поняття про оптимальне керування.

Розділ 14. Чисельні методи.

Тема 111. Чисельні методи алгебри. Розв’язування рівнянь методами хорд, дотичних, ітерацій. Точність та збіжність методів.

Тема 112. Наближення функцій. Можливість наближення неперервних функцій алгебричними та тригонометричними многочленами. Інтерполяція функцій, многочлени Лагранжа, Ньютона. Сплайнінтерполяція.

Тема 113. Наближене обчислення визначеного інтеграла. Квадратурні формули прямокутників, трапецій, Сімпсона.

Тема 114. Наближене розв’язування диференціальних рівнянь методами ітерацій, Ейлера.

Тема 115. Інші наближені методи розв’язування диференціальних рівнянь, модифікації методу Ейлера. Метод Рунге-Кутта.

Тема 116. Метод сіток для розв’язування рівнянь у частинних похідних.

Тема 117. Використання пакетів програм у наближених обчисленнях.

Плани практичних та лабораторних занять

Заняття 1.

1.Матриці, їх види. Дії з матрицями

2.Визначники різних порядків, їх означення, властивості, обчислення.

Треба розв’язати приклади в аудиторії 11,16,20,38,40,46,62

та зробити наступні домашні завдання 10,12,19,39,58,61,64.

Заняття 2 .

1.Обернена матриця.

2. Ранг матриць.

3. Матриці в економічних застосуваннях.

Заняття 3,4.

1. Системи лінійних рівнянь, їх розв’язування методами Крамера.

2. Метод Гауса.

3.Матричний метод

4. Теорема Кронекера-Капеллі для дослідження сумісності систем лінійних рівнянь.

Індивідуальна робота. Економічні задачі , що призводять до систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Модель Леонтьева. Застосування ППП для розв’язування задач лінійної алгебри на ПЕОМ.

Заняття 5.

1. Основні поняття лінійного простору.

2. Власні числа і власні вектори матриць.

3.Квадратичні форми, умови їх визначеності. Застосування в задачах оптимізації

Проведення модуля №1 за темою: Задачі лінійної алгебри

Заняття 6. Елементи теорії границь.

Заняття 7. Прирости величини, аргументу та функції . Швидкість зміни функції на інтервалі та в точці. Неперервність функцій, означення, класифікація точок розриву.

Заняття 8. Економічні задачі, що призводять до поняття похідної. Похідна, її означення та геометричний зміст. Правила диференціювання, Диференціювання основних елементарних функцій, складених , неявних і параметрично заданих функцій. Логарифмічне диференціювання. Похідні вищих порядків

Заняття 9. Економічний зміст похідної. Еластичність функцій, її властивості, види та геометрична інтерпретація. Еластичність елементарних функцій. Застосування еластичності в економічному аналізі.

Диференціал, геометричний зміст, інваріантність форми першого диференціала. Застосування

Заняття 10. Граничний (маржинальний) аналіз :застосування диференціального числення до економіки та бізнесу.

Співвідношення між сумарними , середніми та маржинальними (граничними) величинами. Задачі знаходження по одній з цих величин двох інших. Формальний та графічний аналіз.

Проведення модуля № 2 за темою: Диференціальне числення однієї змінної

Заняття 11-12. Виробничі функції, їх види. Означення функції n(n³2) змінних. Лінії рівня та їх економічна інтерпретація: ізокванта, крива індиферентності.. Частинні та повний прирости функції багатьох змінних. Частинні похідні, їх економічний зміст. Повний диференціал. Геометричне тлумачення. Застосування. Похідна складеної функції, повна похідна. Похідна неявної функції. Граничні (маржинальні) і середні значення виробничої функції. Коефіцієнти еластичності. Граничний продукт фактора виробництва

Заняття 13. .Похідна за напрямом, градієнт, дослідження функції корисності..

Заняття 14 .Екстремум функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови у випадку довільного числа змінних, гессіан.

Заняття 15. Умовний екстремум з довільним числом обмежень.

Максимізація прибутку. Загальна модель споживчого вибору. Модель Стоуна. Аналіз рівняння Слуцького.

Проведення модуля № 2.2 за темою: Функції багатьох змінних

Заняття 19. Первісна і невизначений інтеграл, властивості.

Інтегрування невизначеного інтегралу заміною змінної та частинами

Заняття 20-22. Стандартна техніка інтегрування невизначеного інтеграла. Інтегрування із застосуванням таблиць. Інтеграли, які не виражаються через елементарні функції.

Заняття 23. Економічні задачі , що призводять до поняття визначеного інтеграла. Визначений інтеграл, означення, властивості. Геометричні застосування визначеного інтеграла Похідна інтеграла зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца.

Заняття 24 .Стандартна техніка інтегрування визначеного інтеграла. Оцінки інтегралів. Інтегрування із застосуванням таблиць та ППП на ПЕОМ. Застосування визначеного інтеграла для розв’язування економічних задач. Знаходження сумарної величини, якщо відома гранична величина.

Заняття 25.Невластиві інтеграли із нескінченними межами інтегрування та інтеграли від необмежених функцій.

Гама-функція Ейлера

Заняття 26. Поняття інтеграла по області.

Заняття 27. Економічні задачі, що призводять до диференціальних рівнянь. Основні поняття. Диференціальні рівняння першого порядку, існування та єдиність розв’язку задачі Коші. Рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні та лінійні диференціальні рівняння.

Поняття стійкості та асимптотичної стійкості розв’язків лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Стійкість ринку.

Заняття 28. Різницеві рівняння першого та другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Застосування різницевих рівнянь в економічних дослідженнях (формула величини фонду, який відданий під складний відсоток, динаміка ринкових цін). Динамічна модель Леонтьева.

Заняття 29-30 .Елементи теорії рядів.

Заняття 31-32. Елементи фінансової математики. Прості відсотки. Нарахування простих відсотків. Дисконтування по простим відсоткам. Складні відсотки Неперервне нарахування відсотків та неперервне дисконтування. Аналіз при змінної інтенсивності нарощування. Неперервна рента. Індекси інфляції та нерівність в розподілу сімейних прибутків