Статические и динамические модели

В предыдущих разделах модели состава и структуры были “мгновенными фотографиями “ систем, в них не рассматривались изменения, которые могут происходить со временем. Такие модели называются статическими.

Системы, в которых со временем происходит изменение, называют динамическими. Уже на уровне черного ящика различают два типа динамики систем: их работа и развитие. Работу системы описывают процессы, которые происходят в системе и что окружает средства для достижения цели. Развитие систем отвечает процессам, которые происходят при изменению цели системы. При развития существующая структура системы может перестать отвечать новой цели, тогда для обеспечения функционирования меняется структура, или даже состав системы.

Важную роль в усовершенствовании моделирования систем играют математические методы. Математическая модель может отображать состояние системы, связи со средой, связи между частями системы, а также действие системы в виде определенного набора математических отношений.

Для описания статических систем и моделей соответствующими отношениями есть: уравнение алгебры, неравенства, их системы и множества, не зависимые от времени Y=f(x1, x2, x3..,xn). Для описания динамических систем и моделей используются функциональные, дифференциальные, разностные уравнения, неравенства и их системы, зависимые от времени Y= f(xi, t).

Важным преимуществом математических моделей является возможность их объективного исследования с помощью математического аппарата и глубина анализа, которая недосстижима другими методами, не говоря о точности выводов.

Определенные положительные сдвиги в использовании математических методов моделирования, анализа принятых решений, оценки адекватности модели дали персональные компьютеры.

Построение статических моделей.

1. Определение тесноты связи и выбор формы взаимосвязи.

2. Многофакторные модели.

3. Прогнозирование состояния моделей.

1.Статические модели строятся для познания объекта. Познавательная модель строится на реальных объектах, а прагматическая модель – на имитированных объектах.

Для исследования формы взаимосвязи факторов системы при них корреляционной зависимости используют ряд количественных оценок, которые определяют тесноту их связи. Линейный коэффициент корреляции r есть одним из наиболее совершенных методов измерения тесноты связи.

, где

Форма корреляционной связи является типом аналитической формулы, используемым для выражения зависимости между признаками, которые изучаются. Уравнение корреляционной связи – аналитическое уравнение, с помощью которого выражается связь между признаками. Различают прямолинейное уравнение связи (прямая линия) и криволинейное (парабола, гипербола, экспонента и др.)

(прямая);

(гипербола);

(парабола).

Аналитическое уравнение корреляционной связи между двумя признаками находится с помощью выравнивания за образом наименьших квадратов.

Свободные члены моделей (а_о, а₁, а₂) исчисляются по системам уравнений:

- для прямой

- для гиперболы

- для параболы

Для выбора типа модели используют ряд показателей:

Часто адекватность модели проверяется по наименьшей абсолютной ошибке аппроксимации ,

где - отклонение уі от значений по модели ( ).

Адекватность модели реальной системы также может оцениваться относительной ошибкой аппроксимации ( она должна быть меньше, чем 0,1).

Модели рекомендуется строить, если – 0,5 > r > 0,5. Линия, которая совмещает индивидуальные точки зависимости или их среднее значение, называется эмпирической линией регрессии.

Рассмотрим формальную модель, которая может быть представлена в виде «черного ящика» (а), состава (б), структуры (в) и узагальнювальна модель этой схемы системы (г). В нашем случае задаются только х і у. Значит, нашу формальную модель можно считать за модель « черного ящика».

х в

а) б)

х в

в) г)

Рассмотрим пример расчёта плотностей распределения отклонений

Расчетная таблица плотностей распределения отклонений

№
1	25	153	3825	-9,5	90,25	-384	147456
2	32	523	16736	-2,5	6,25	-14	196
3	27	133	3192	-10,5	110,25	-404	163216
4	42	843	35406	7,5	56,25	306	93636
5	30	423	12690	-4,5	20,25	-114	12996
6	42	693	29106	7,5	56,25	156	24336
7	49	993	48657	14,5	210,25	456	207936
8	28	223	6244	-6,5	42,25	-314	98596
9	39	773	30147	4,5	20,25	236	55696
10	34	613	20842	-0,5	0,25	76	5771
	345	5370	206845		612,5		809840

Рассчитаем среднеквадратические отклонение Х і У и определим коэффициент корреляции

Оценку зависимости между Х і У проведем по указанным выше теоретическим линиям. Для прямой:

Для гиперболы:

Для параболы:

Приложение А

32