Тема 1. История возникновения логики.

▪История возникновения логики.

▪Основные законы логики.

Логика — наука, изучающая законы и формы мышления. Мыслительная деятельность человека представляет собой сложный и многосторонний процесс. В логике мышление рассматривается как инструмент познания окружающего мира. Человек отражает действительность не только при помощи мышления, но и посредством органов чувств. Чувственное познание — необходимое условие достижения истины, но его возможности ограниченны. Мышление, отвлекаясь от случайного и выделяя главное, выходит за пределы чувственного опыта и путем рассуждений способно выявить такие черты объективной действительности, которые не были предметом наших ощущений и восприятий. Логическое мышление позволяет организовать мыслительные процедуры так, чтобы, отталкиваясь от истинных данных чувственного познания, гарантированно получить истинные заключения.

Математическая логика – это логика, которая развивается с помощью математических методов. Этот термин имеет и другой смысл: изучать математическую логику – значит изучать логику используемую в математике.

Основоположником логики считают древнегреческого мыслителя Аристотеля (384 – 322 гг.до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос «как мы рассуждаем», изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подвергал анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел со стороны строения, структуры, то есть с формальной логики. Так возникла формальная логика. После падения античной цивилизации развитие математики, и особенно логики, замедлилось, потому что новые логические идеи нередко вступали в противоречие с формами мышления церкви. Любопытно отметить: первое, что было восстановлено из античной науки, - это именно логика Аристотеля.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам науки нового времени, нетрудно установить, что и в этом случае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античной логике методы. С этого началась философия и математика Рене Декарта ( 1596-1650). Он считал, что человеческий разум может постигнуть истину, если будет исходить из достоверных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях исследований. Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении – логике – руководствоваться общепринятыми в математике принципами.

Продолжение развития логики начинается с появления математической, или символической, логики. Основоположником математической логики считают великого немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница (1646 – 1716). Он попытался построить первый логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила.

Он один из первых использовал для решения задач изображения кругов. Затем этот метод развил швейцарский математик Леонард Эйлер ( 1707 – 1783). Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые « Письма к немецкой принцессе», написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих «Писем…» Эйлер как раз и рассказывает о своем методе.

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано ( 1781-1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы.

Джордж Буль (1815 – 1864 г.) создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Сочинение Джорджа Буля, в котором подробно исследовалась эта алгебра, было опубликовано в 1854 г. Оно называлось « Исследование законов мысли». Отсюда ясно, что Буль рассматривал свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления, то есть законов логики.

Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – математической логики.

Предметом математической логики служат рассуждения. При изучении она пользуется математическими методами.

Главное назначение математической логики определилось в конце XIX века, когда стала ясна необходимость обоснования понятий и идей самой математики. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики.

В этом отношении показательны работы немецкого математика Г. Фрёге (1846 – 1925 г.) и итальянского математика Д. Пеано (1858 – 1932 г.), которые применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств.

Лишь в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон обнаружил, что алгебра логики приложима к любым переменным, которые могут принимать только два значения. Например, к состоянию контактов: включено – выключено или напряжению (или току): есть – нет, которыми представляется информация в ЭВМ.

Основным объектом изучения математической логики являются различные исчисления. Основными разделами математической логики являются исчисление высказываний и исчисление предикатов. В нашем курсе мы остановимся на изучении исчисления высказываний.

Законы логики

Речевая практика привела к установлению некоторых требований, предъявляемых к высказываниям. Эти требования необходимы для обеспечения целенаправленной познавательной деятельности и эффективного общения между людьми. Они были сформулированы ещё Аристотелем и известны как основные законы логики:

I. Закон тождества

Закон тождества доказывает то, что всякая мысль тождественна самой себе, «А есть А», где А – любая мысль. Другими словами, каждый из предметов, о котором идет речь, все время должен оставаться самим собой.

Это требование совершенно необходимо, т.к. в противном случае изменчивость предмета привела бы к тому, что уже в ходе самого рассуждения истинные высказывания становились бы ложными.

II. Закон противоречия.

Данный закон выражает требование непротиворечивости мышления.

Закон противоречия гласит: два суждения, из которых в одном утверждается нечто о предмете мысли («А есть В»), а в другом тоже самое отрицается об этом же предмете мысли («А не есть В»), не могут быть одновременно истинными, если при этом признак В утверждается или отрицается о предмете мысли А, рассматриваемом в одно и то же время и в одном и том же отношении.

Например, суждения «Кама – приток Волги» и «Кама не является притоком Волги» не могут быть одновременно истинными, если эти суждения относятся к одной и той же реке.

Противоречия не будет, если мы что-либо утверждаем и то же самое отрицаем относительно одного и того же лица, которое, однако, рассматривается в разное время.

Так, суждения «Данный человек – студент ТИСБИ» и «Данный человек – не является студентом ТИСБИ» могут быть одновременно истинными, если в первом из них имеется в виду одно время (когда данный человек учится в ТИСБИ), а во втором – другое (когда он закончил институт).

Закон не противоречия указывает на то, что из двух противоположных суждений одно необходимо ложно. Но поскольку он распространяется и на противные, и на противоречащие суждения, вопрос о втором суждении остается открытым: оно не может быть как истинным, так и ложным: бумага не может быть белой и небелой.

III. Закон исключенного третьего.

Закон исключенного третьего утверждает, что два противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными: одно из них необходимо истинно; другое – необходимо ложно; третье суждение исключено, т.е. истинно либо А, либо не А.

Чтобы понять действие закона, приведем две пары несовмес­тимых высказываний:

1) «Байкал глубокий» — «Байкал мелкий»;

2) «Байкал глубокий» — «Байкал неглубокий».

Спрашивается: могут ли два высказыва­ния с противоположными предикатами быть одновременно истин­ными? Нет. Об этом говорит закон противоречия. Но могут ли они быть одновременно ложными? Да, потому что не исчерпывают всех возможных вариантов. Может статься, что «Байкал средней глуби­ны». Закон исключенного третьего здесь не действует.

Закон тождества выражается логической формулой А ≡ А (А равносильно А) или А→А («Если А, то А»).

Тема.2. Высказывание. Пропозициональная переменная.

▪ Понятие высказывания.

▪ Пропозициональные переменные.

▪Оценка пропозициональных переменных.

Объектами алгебры логики или булевой алгебры являются высказывания.

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний.

1. Новгород стоит на Волхове.

2. Париж - столица Англии.

3. Карась не рыба.

4. Число 6 делится на 2 и на 3.

5. Если юноша окончил школу, то он получает аттестат зрелости. Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2), 3) ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если..., то ...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на 3», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если ..., то ...». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания - буквой и или цифрой 1, а ложное значение - буквой л или цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать a=1,a если а ложно, то а=0.

Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может. Проиллюстрируем сказанное задачей-шуткой.

В одной сказочной стране злой царь приговорил к смерти богатыря. Последней просьбой осужденного было желание предоставить ему возможность ;выбрать только два вида казни: смерть через повешение или отсечение головы; если же такой вид казни невозможен, то его должны освободить. Осужденный добавил, что он произнесет одно предложение (высказывание); если оно окажется ложным, пусть его повесят; если оно окажется истинным, пусть ему отрубят голову. Царь, конечно, согласился. Осужденный произнес только одно высказывание: «Меня повесят» — и царь вынужден был его освободить. Подумайте, почему это произошло.

В естественном языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Переменные, являющиеся переменными вида «высказывание» называют «высказывательными переменными». В специальной литературе их называют также «пропозициональными переменными». Кроме пропозициональных переменных никакие другие нами использоваться не будут. Поэтому, для краткости, мы будем просто говорить «переменная».

Поскольку вместо пропозициональных переменных могут быть представлены конкретные высказывания, а высказывания имеют вполне определенные истинностные значения, то пропозициональным переменным непосредственно могут быть поставлены в соответствие сами эти истинностные значения. Такое соответствие называется оценкой пропозициональных переменных. Для n-переменных количество оценок составляет .

Тема.3.Логические операции над высказываниями.

▪ Отрицание.

▪ Дизъюнкция.

▪ Конъюнкция.

▪ Импликация.

▪ Эквиваленция.

▪ Понятие бинарной и унарной операции.

Отрицание. Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.

Отрицанеи высказывания х обозначается и читается «не х» или «неверно, что х».

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы

х
1	0
0	1

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.

Пусть х высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется двойным отрицанием высказывания х. Ясно, что логические значения высказываний х и совпадают.

Например, для высказывания «Река Волхов вытекает из озера Ильмень» отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень» или «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов не вытекает из озера Ильмень».

Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкцией двух высказываний х, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкция высказываний х,y обозначается символом , читается «х и y». Высказывания х, y называются членами конъюнкции.

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы

х	y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Из определения операции конъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией двух высказываний х, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказывания х, y истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний х, y обозначается символом , читается «х или y». Высказывания х, y называются членами дизъюнкции.

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы

х	y
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Из определения операции дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда истинно.

Импликация. Импликацией двух высказываний х, y называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а y ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний х, y обозначается символом , читается «если х, то y» или «из х следует y». Высказывания х называют условием или посылкой, высказывание y – следствием или заключением, высказывание - следованием или импликацией.

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы

х	y
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Из определения операции дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда истинно.

Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний х, y называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х,y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.стинно, а y ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний х, y обозначается символом , читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно,чтобы y» или «х тогда и только тогда, когда y». Высказывания х, y называются членами эквиваленции.

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы

x	y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Конъюнкция, дизъюнкция и импликация являются бинарными, т.е. двухместными связками.

Слово «двухместная» означает, что в рассматриваемой связке предполагается наличие двух мест, куда могут быть поставлены выражения, соединяемые этой связкой.

Отрицание является одноместной (или унарной) логической операцией.