- •Дисциплина «Математический анализ»
- •Раздел I. Введение в анализ
- •§1 Понятие множества. Теоретико-множественные отношения и операции. Декартово произведение.
- •Способы задания множеств
- •Теоретико-множественные отношения
- •Подмножества
- •Теоретико-множественные операции
- •§2 Множество действительных чисел.
- •§3. Изображение действительных чисел на прямой.
- •§4. Основные свойства множества действительных чисел.
- •§5. Модуль действительного числа.
- •Модуль действительного числа обладает свойствами:
- •§6. Числовые множества.
- •§7. Функции и их общие свойства.
- •§8. Действительная функция действительной переменной.
- •§9. Некоторые типы поведения действительных функций действительной переменной. Функции монотонные и кусочно-монотонные.
- •Функции четные и нечетные.
- •Периодические функции.
- •Функции ограниченные и неограниченные.
- •§10. Обратная функция.
- •§11. Числовые последовательности..
- •§12. Принцип вложенных отрезков.
- •§13. Бесконечные десятичные дроби.
- •§14. Предельная точка множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§15. Понятие предела числовой последовательности.
- •§16. Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •§17. Предел монотонной последовательности. Число «e».
- •§18. Критерий Коши.
- •§19. Верхний и нижний пределы.
- •§20. Понятие предела функции.
- •§21. Основные теоремы о пределах функции в точке
- •§22. Предел функции по множеству. Предел на бесконечности.
- •§23. Первый замечательный предел.
- •§24. Второй замечательный предел.
- •§25. Бесконечно малые функции и их сравнения
- •§26 Бесконечно большие функции
Периодические функции.
Функция, ,определенная на множестве X, называется периодической, если существует такое число T (называемое периодом), что .
Если функция является периодической с периодом T, то, зная значения этой функции на промежутке (или, вообще говоря, на любом полуинтервале длины T), мы можем найти значения этой функции в любой точке области определения. Так, зная значения функции в точке , заключаем, что это же значение функция принимает в точках , а также в точках .
Имея часть графика функции на участке , можно построить график функции во всей области определения. Для этого достаточно параллельно перенести вдоль оси часть графика, заданную на (вправо на величины T, 2T,…) и аналогично влево на
–T, -2T,….
Простейшими примерами периодических функций являются функции , с периодом .
Очевидно, что если периодом функции является число T, то периодами этой функции будут и числа 2T, 3T,…. В самом деле, например,
.
Может случиться, что во множестве периодов одной и той же функции есть наименьшее положительное число. Его называют минимальным периодом.
Не всякая функция имеет минимальный период. Например, функция Дирихле:
периодическая. Ее периодом будет любое рациональное число. Однако, минимального периода она не имеет, так как не существует наименьшего положительного рационального числа.
Функции ограниченные и неограниченные.
Определение 1. Функция , определенная на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если .
Иначе говоря, функция ограничена на множестве X сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу). Например, функция ограничена на всей числовой прямой сверху, и снизу, и числом M для нее может быть любое число большее или равное 1, а числом m – любое число, меньшее или равное -1.
Числа M и m в определении носят названия, соответственно, верхней и нижней границ.
Определение 2. Функция , определенная на множестве X, называется ограниченной на этом множестве, если .
Так как неравенство эквивалентно неравенствам , то ограниченная на множестве X функция ограничена и сверху, и снизу.
Геометрически это означает, что для функции, ограниченной сверху (снизу), существует такая прямая, что все точки графика функции лежат ниже (выше) прямой (рис. 10, 11).
Определение 3. Число M называется верхней гранью функции на множестве X, если выполнены условия:
а)
б) и записывают .
Второе условие означает, что верхняя грань функции есть наименьшая из всех верхних границ (рис. 11).
Определение 4. Число m называют нижней гранью функции на множестве X, если выполнены условия:
а) ,
б) и записывают
Второе условие здесь означает, что нижняя грань функции есть наибольшая из всех ее нижних границ (рис.11).
Рис.10 Рис.11
Например, функция , ограниченная на всей числовой прямой снизу, имеет своей нижней гранью m=0.
Нижняя и верхняя грани ограниченной функции не всегда являются ее значениями. В дальнейшем будет показано, что нижняя и верхняя грани функции, непрерывной на сегменте, являются значениями этой функции.
Так как неограниченность функции есть отрицание ее ограниченности, то определение неограниченной функции следует из равносильности Примером неограниченной функции является функция