Дисциплина «Математический анализ»

Раздел I. Введение в анализ

Модуль I: Действительные числа

Лекция I:

§1 Понятие множества. Теоретико-множественные отношения и операции. Декартово произведение.

Математическое понятие множества выделилось как обобщение представлений о совокупности, собрании, классе, семейства и т.д. В 1892 г. Георг Кантор, создатель теории множеств, определил множество «как объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью». Определение Кантора с самого начала исключает из рассмотрения множества, объекты которых «плохо определены», кроме того, в определении требуется, чтобы объекты были различимы между собою. Это описание понятия множества нельзя считать математическим определением, так как всякое математическое определение выражает определенное понятие через другие, уже известные, понятия. Понятие множества не удается свести к уже известным понятиям и можно только постараться пояснить его на примерах. Оно является одним из первичных понятий в науке.

Множество считается заданным, если известны элементы, из которых оно состоит.

Множества будем обозначать прописными буквами , а их элементы – строчными буквами .Утверждение «элемент принадлежит множеству » символически записывают ; запись означает, что элемент не принадлежит .

Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным, в противном случае – бесконечным. В целях общности и простоты формулировок рассматривается также множество, не содержащее ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом .

То, что множество состоит из элементов обозначается . Для уточнения записи вводятся два знака: и , которые называются, соответственно, кванторами общности и существования. Выражение «для всякого элемента множества » записывается в виде . Эта запись означает, что утверждение, следующее за ней, будет выполняться для произвольного элемента множества .

Выражение «существует по крайней мере один элемент множества такой, что» записывается в виде . Все, что следует за этой записью, выполняется хотя бы для одного элемента множества .

Иногда пишут для квантора общности , что читается «каковы бы ни были элементы из множества …», и для квантора существования , что читается «Существуют такие элементы множества , что …».

Двойная односторонняя стрелка используется для указания на последствия некоторого факта; это символ импликации или логического следствия, который можно считать «влечет» или «имеет следствие». Двойная стрелка в обе стороны обозначает логическую эквивалентность: справедливо как само утверждение, так и его обращение.

Способы задания множеств

1. Множество может быть задано перечислением всех его элементов.

Пример: Множество цифр: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2. Описание ограничительного свойства, выделяющего элементы множества среди элементов более широкого, или основного множества.

Пример: Множество равнобедренных треугольников (во множестве всевозможных треугольников)

3. Каждый элемент задаваемого множества определяется с помощью некоторого элемента уже известного множества.

Пример: Натуральный ряд: . Последующий элемент получается из предыдущего.

Пример: Считается известным множество натуральных чисел . Определим множество степеней числа 2:

4. Для задания какого-либо множества можно задать набор свойств, обладание которыми делает какой-либо объект элементом этого множества. Указанные свойства будем называть характеристическими свойствами.

Для определения множеств с помощью характеристических свойств используют обозначение , где – характеризация принадлежности.

Пример: Пусть – множество всех натуральных чисел, которые делятся на 3. Таким образом, .

5. Новые множества могут быть заданы с помощью, так называемых теоретико-множественных операций.