Лекция 7. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ стр. 6

______________________________________________________________________________

Случайная погрешность – это такая составляющая погрешности измерения, которая непредсказуемо изменяется при повторном выполнении измерений в одинаковых условиях.. Случайная погрешность является следствием совместного действия большого числа различных и взаимно независимых факторов. Поведение случайной погрешности может быть описано только статистически, то есть методами теории вероятностей.

7.1 Основные понятия теории вероятностей

Опытом называется всякое осуществление определенных условий или действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Примеры опытов: подбрасывание иг­ральной кости, выстрел по мишени, измерение физической величины. Событие – качест­венная характеристика результата опыта. Например, при бросании игральной кости – вы­падение единицы или двойки; попадание в мишень при стрельбе; в случае измерения – его результат составляет столько-то единиц.

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного опыта. В опыте с игральной костью достоверное событие – выпадение любой цифры – от 1 до 6; невозможное событие – появление семерки. Событие, которое в результате опыта может появиться, а может - нет, называется случайным.

Рассмотрим повторяющиеся опыты, выполняемые в одинаковых условиях. Пусть после выполнения n опытов некоторое событие А произошло m раз. Тогда под частотой этого события P*(A) понимают отношение:

P*(A) = m/n.

Вероятностью P(A) некоторого случайного события А называется число, характери­зующее частоту этого события при большом числе опытов. Из этих определений следует, что вероятность – величина неотрицательная и ограниченная областью 0P(A)  1,0.

В некоторых простых случаях числовое значение вероятности события может быть оценено до опыта. Например, при подбрасывании симметричной монеты выпадение герба или цифры равновероятны и равны 0,5. При подбрасывании симметричной игральной кос­ти равновероятно выпадение любой цифры из допустимых 1, 2,…,6. Поэтому вероятности выпадения каждой из цифр одинаковы и равны 1/6. Однако, на практике такой анализ со­бытия затруднен и при определении вероятности того или иного события руководствуют­ся экспериментальными данными, либо выполняя большое число опытов, либо используют такие опыты, в которых появление события зависит от множества факторов. Пусть произведен ряд изме­рений некоторой величины Х. Пересортируем результаты измерений в порядке их возрастания: х₁< х₂< ….<х_n-1<x_n. Таким образом, область возможных значений измеряемой величины находится в пределах от минимального х₁ до максимального x_n. Разделим эту область на несколько (например, на восемь) интервалов. Границы интервалов обозначим В₁, В₂, … В₇. Подсчитаем относительное количество m_i/n ре­зультатов измерений, попадающих в i-тый интервал, и по результатам расчетов построим ступенчатую кривую, называемую гисто­граммой. Типичный вид подобной гистограммы показан на рис.7.1. Видны основные свой­ства результатов измерений:

• чем ближе результат измерения к истинному значению х₀, тем чаще он встречается;

• отклонения результата измерения одинаковой величины, но разные по знаку встречаются одинаково часто.

Если увеличивать число измерений одной и той же величины, одновременно увели­чивая число интервалов деления возможных значений результата измерения, то ступенча­тый характер гистограммы сглаживается и в пределе она превращается в непрерывную плавную функцию (рис.7.2). Такая функция называется функцией распределения плотности вероятности f(x). Интеграл от функции плотности вероятности, взятый в некоторых пределах от х₁ до х₂, равен вероятности того, что случайная величина х примет значение х₁<x<x₂:

Графически этот интеграл представля­ет собой площадь под кривой f(x), ограни­ченную ординатами х=х₁ и х=х₂. Функция распределения плотности вероятности является наиболее полным описанием случайной величины. Часто используют более простые числовые характеристики случайной величины:

математическое ожидание m_x

дисперсия D_x

Математическое ожидание m_x представляет собой наиболее вероятное значение случайной величины х. Дисперсия D_x характеризует степень разброса случайной величины х относительно математического ожидания вдоль числовой оси. Размерность дисперсии – квадрат размерности случайной величины х, что не всегда удобно. Поэтому употребляют среднее квадратическое отклонение случайной величины, равное квадратному корню из дисперсии:

Если имеется случайная величина х с математическим отклонением m_x, то случайная величина у = х - m_x называется центрированной случайной величиной. Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

Чаще всего используют нормальное распределение вероятности, плотность которого описывается формулой:

где m_x – математическое ожидание случайной величины х,

 - среднее квадратическое отклонение случайной величины х.

Кривые нормального распределения для двух значений  показаны на рис. 7.2. Видно, что параметр  определяет степень разброса случайной величины: чем меньше , тем более компактно распределена случайная величина на числовой оси, тем больше вероятность результатов измерений, близких к действительному значению измеряемой величины. Таким образом, среднее квадратическое отклонение  случайной величины х может служить характеристикой точности измерения.