Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика 3.docx

Скачиваний:

Добавлен:

18.12.2018

Размер:

107.04 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Вопрос №26 см. № 27

Вопрос № 27. Порядок цикла и порядок подстановки.

Любая подстановка φ конечного множества М может быть представлена в виде произведения взаимно простых циклических подстановок.

Такое представ. единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

(1 5)(6 3)(2 8)(9 7)(4)

Порядком подстановки называется минимальное число обладающего свойствами

(3 2 4 5)(3 2 4 5)=(3 4)(2 5)=(3 5 4 2)·(3 2 4 5)

Порядок цикла равен количеству элементов, которое он перемещает.

при

Порядок этой подстановки – наименьшее общее кратное порядков циклов

Вопрос № 28 Четность подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Следствия. Т.Произведение двух подстановок одинаковой четности является четной подстановкой, а произведение двух подстановок разной четности – нечетной подстановкой.

Доказательство : Рассмотрим произведение двух подстановок :

AB=

Если подстановки одинаковой четности, то они либо обе четны, либо обе нечетны. В первом случае перестановки , а также одинаковой четности и значит перестановки - тоже одинаковой четности. Во втором случае перестановки разной четности, но и подстановки и тоже разной четности, а значит перестановки одинаковой четности. И так в обоих случаях подстановка AB четна.

Если подстановки A и B разной четности, то либо подстановка A четна, а B нечетна, либо наоборот. Получим, что в обоих случаях перестановки разной четности ⇒ AB нечетка. Следствие: Все четные подстановки симметрической группы образуют в ней подгруппу. Порядок равен . Это знакопеременная подгруппа (. Любая подстановка может быть представлена в виде произв. транспозиций

…

Пример (1 2 3 4 5 ) =( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) = ( 1 2 3 4 5 ) Сопряженные подстановки имеют одинаковую цикловую структуру.

Доказательство:

Произведение циклов длины

Умножив левую часть на

…

Пример:

Вопрос № 29 Системы образующих симметрической группы.

Рассмотрим n=3 T=

< T > <

Элементы можно выписать в виде:

= 0, 1, 2

=1 =

со словами элемент

длиной не более трех =2

....

r=3

n=4 T=

пока разных ,

< (1 2), (3 4)

Величина такая, что словами длины rпредставимы все элементы группы, которые порождаются группой <T>, называется длиной группы.

Вопрос № 30. Знакопеременная группа. Системы образующих этой группы.

Т. Знакопеременная группа проста. Лемма. Если нормальная подстановка R гр. (>2) содержит цикл из трех элементов то R= .

Доказательство. Пусть R содержит цикл ( 1 2 3 ), тогда R должен содержать и квадрат этого цикла ( 2 1 3 ) и все трансформированные из этого цикла элементы:

( 213)

Возьмем , где >3

R содержит все циклы вида (1 2k).

Но такие циклы порождают всю группу .

Доказательство теоремы. Пусть R – произв. отлич. от норм. под-ка в . Надо доказать, что R=.

Выберем в R подстановку отличную от 1, и которая оставляет неподвижными наибольшее возможное количество чисел из тех, на которые действуют подстановки из данной симметрической группы. Покажем, что перестанавливает три числа, а остальные не сдвигает с места.

Предположим, что перестанавливает 4 элемента, тогда является произведением двух транспозиций. Пусть

=(1 2)(3 4)

По условию >4, поэтому можно трансформировать с помощью и получим: =(1 2)(45) .

Произведение является тройным циклом (3 4 5) и переставляет меньше чисел, чем , что противоречит выбору . Таким образом, во всех случаях переставляет меньше чисел, чем , что противоречит выбору . переставляет лишь 3 числа. Но тогда r- тройной цикл и R= Доказано.

Вопрос 31 . Сопряженные элементы в симметрической группе.

См. вопрос 24.

Вопрос № 32. Уравнение Коши. Число его решений.

Это уравнение вида

Пример: ( 1 2 3 4 ) ( 5 6 7 )·( 8 9 0 ) = ( 3 4 5 6 )( 7 8 0 )( 1 2 9 ) x.

= одно из решений.

Остальные решения: Количество возможных замен местами циклов одинаковой длины.

Общее количество:

( кол-во элементов)·(замена местами циклов одинаковой длины)=

= 4·3·3·2= 72 решения.

Вопрос№33 Теорема Кэли

Теорема. Для всякой группы G существует изоморфная ей группа подстановок (, M) на некотором подходящем множестве M.

Построим одну такую группу подстановок. В качестве M выберем множество G элементов группы и сопоставим каждому следующее отображение множества G:

П :

т.е. мы сопоставляем групповому элементу отображение множества G в себя, состоящее в умножении всех элементов справа на элемент . Такое отображение в гр. G называется правым сдвигом. Отображение П- подстановка. Действительно, является образом при П, а именно образом элемента )·= Отображение Пинъективно:

Пусть G' = и покажем, что G' – группа подстановок. Действительно, ведь П и П.

Пусть отображение

Группы G на группу Отображение - инъективно: если , то

П т.к. (1)·П при П, а (1)·П при П.

Имеем (, т.к. изоморфизм.

Построенная группа ( не единственная группа подстановок, изоморфная данной группе. Построенная группа наз. регулярным представителем группы G.

Вопрос №34

G=A+B=

Вопрос 35. Прямое произведение подгруппы группы, свойства прямого произведения подгруппы.

Определение 1. Пусть даны группа и две ее подгруппы , причем выполнены следующие условия.

являются нормальными делителями группы .
пересечение состоит только из единицы е.
каждый элемент группы G может быть представлен в виде произведения . Тогда группа G называется прямым произведением своих подгрупп ;.

Т. Каждый элемент группы однозначно представляется в виде произведения .

Каждый элемент , коммутирует с каждым элементом ( т.е.).

Доказательство. Предположим, что какой-то элемент группы двумя способами представлен в вмде произведения элементов подгрупп

Умножая обе части последнего равенства слева на , а справа на получим

Но , и значит, элемент принадлежит пересечению

т.е. равен :

откуда .

ΙΙ. Пусть и . Рассмотрим так называемый коммутатор этих элементов

Произведение - нормальный делитель и значит

произведение (.

С другой стороны произведение принадлежит т.к. - нормальный делитель и значит принадлежит . Таким образом, коммутатор принадлежит пересечению . и поэтому он равен .

Умножая последнее равенство слева на , получим: т.е. любой элемент из коммутирует с любым элементом из .

Аналогично можно определить прямое произведение множителей. Здесь все подгруппы являются нормальными делителями G, пересечение каждой из подгрупп с подгруппой, порожденной в G всеми остальными множителями состоит только из единицы и каждый элемент группы G можно представить в виде произведения где.

Теперь видно, что порядок прямого произведения конечных групп равен произведению порядков сомножителей.

Пример: Прямое произведение циклической групп второго порядка и циклич. группы третьего порядка кроме элементов , должно содержать произведения и .

Видно, что эта группа является циклической группой .

Итак .

Вопрос 36. Нормальные делители группы, их свойства.

Определение. Подгруппа A называется норм. делителем группы G, если

будет выполнено A.

Т. Пересечение двух норм. делителей группы G само является нормальным делителем G.

Доказательство. Пусть нормальные делители группы G и A=.

А подгруппа в G. Далее т.к. A будет выполднено

т.е. A – нормальный делитель группы G.

Т. Для того чтобы подгруппа A группы G была норм. делителем G, необходимо и достаточно , чтобы имело место равенство.

Доказательство. Достаточность этого условия следует из определения. Для того, чтобы доказать необходимость предположим A – нормальный делитель группы G, тогда.

. а значит и откуда и следует, что A

Но если и A, то . Доказано.

Т. Для того чтобы подгруппа A была норм. делителем группы G необходимо и достаточно, чтобы левые и правые смежные классы группы G по подгруппе A совпадали.

Доказательство. Из равенства вытекает, что AA.

т.е., что левый и правый смежный классы, содержащие этот элемент, совпадают. Обратно если будет то

норм. делитель.

Вопрос № 37 Понятие гомоморфизма групп. Ядро гомоморфизма групп.

Пусть группа и (, ∗) (

: G - изоморфизм, если выполнены : а) б) |G|=| группы равномощны, если для элементов этих групп построить биективное отображение. Гомоморфизмом называется такое отображение f группы G в группу если выполнено хотя бы одно из условий а) или б). Таким образом, изоморфизм частный случай гомоморфизма.

Определение. Множество элементов группы G, которые при любом гомоморфизме отображаются в единичный элемент группы , называется ядром группы. Ядро любого гомоморфизма группы G является ее нормальным делителем.

G H H-ядро гомоморфизма.

(G)= Пусть G H⊲G

такой что

Доказательство. Пусть

{}

Пусть

)

Вопрос №38 теорема в вопросе 37.

Вопрос №39.Кольца, коммутативные кольца и кольца с единицей. Примеры. Основные тождества в кольце.

Кольцо - непустое множество, на котором заданы бинарные операции, (K,+,) которые удовлетворяют следующим аксиомам:

( абелева группа
( полугруппа
()c= c

Дистрибутивность

Если в аксиоме 2) будет полугруппа с единицей, то соответственно кольцо называется кольцо с единицей.

А если еще полугруппа коммутативна, то кольцо называется коммутативным.

(Z,+, кольца:

(Q,+,

( .

- кольцо с единицей

(R)

Доказательство:1) замкнутость относительно операции +

нейтральный элемент по сложению

нейтральный элемент по умножению E=

Основные тождества

1) 2)

3)разрешимо уравнение

7) если - коммутативны по умножению Целые числа образуют кольцо с единицей.

Вопрос №40 . Делители нуля и обратимые элементы в кольце. Идеалы кольца.

Делители нуля. В произв. кольце R для некоторых уравнение может иметь для некоторых b больше, чем одно решение, скажем . Тогда ( причем обратно если для a существует элемент Sдля которого S=0 то уже уравнение : =0 имеет как минимум два решения: 0 и S.

Элемент R, называется делителем нуля, если существует элемент , , такой что

Если R-поле, то делитель нуля оно не содержит.

Но в кольцах R не являясь полями, могут быть элементы, делящие все элементы кольца. В кольце целых чисел это - -1, и 1.

Элемент кольца R называется обратным, если он делит все элементы из R.

Множество всех обратимых элементов кольца с единицей образуют группу ( мультипликативную ).

Непустое подмножество J кольца R называется идеалом этого кольца, если оно замкнуто относительно сложения и вычитания и относительно умножения на произв. элемент из R:

J идеал R

Все кольцо R является идеалом самого себя и называется единичным идеалом.
содержится в любом идеале
Под-во - наз. нулевой идеал.
Если идеал J содержит 1, то он содержит все элементы кольца и совп. с единичным идеалом. J = е

Вопрос № 41. Идеалы в кольце целых чисел. Сравнения целых чисел по модулю, их свойства. Идеал содержит - -1 и +1. Легко доказать по определению идеала.

Сравнения. Два числа сравнимые с третьим сравнимы между собой.

Сравнения можно складывать почленно

откуда

Слагаемое можно перенести в другую сторону с обратным знаком.

≡ -b ≡-b ≡c-b.

Сравнения можно перемножать.

N – целое

Обе части сравн. можно умножить на одно и то же число и возвести в одну и ту же степень.

Действ. ≡ ≡ то ≡

Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем.

≡ =. =.

делится на поэтому делится на т.е.

Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое.

Из ≡=+, =+ ≡.

Обе части сравнения и модуль можно разделить на любой их общий делитель.

≡ = b= m= d.

Имеем + ≡.

Вопрос № 42. Построение кольца класса вычетов . Его свойства.

Утв. Каждому гомоморфизму соответствует некоторый двусторонний идеал, являющийся его ядром.

Вопрос . Существует ли гомоморфный образ кольца , такой что классы вычетов по идеалу m отображаются в элементы кольца ?

Чтобы построить такое кольцо в качестве элементов конструируемого кольца, возьмём просто классы вычетов по модулю : класс вычетов обозначим через , класс вычетов - через и определим + -- как класс, в котором лежит сумма , и - как класс, в котором лежит произведение . Если - какой -нибудь другой элемент из ab'≡b другой элемент из , то

≡

Следовательно лежит в том же классе вычетов, что и , так же лежит в том же классе вычетов, что и . Таким образом наше определение суммы и произведения классов не зависит от выбора элементов в классах .

Каждому элементу соответствует класс вычетов , и это отображение гомоморфно, потому что сумма переходит в сумму , а произведение переходит в . Следовательно классы вычетов образуют кольцо, так называемое кольцо классов вычетов или фактор кольцом кольца K по идеалу . При этом соответствии кольцо K гомоморфно отображается на кольце .

Двусторонние идеалы позволяют строить кольца гомоморфные данному кольцу. Элементами такого нового кольца являются классы вычетов по некоторому двустороннему идеалу. Любые два класса вычетов складываются и умножаются, потому что можно складывать и умножать два произвольных представителя этих классов.

Из ≡ следует, что теперь сравнения при переходе к классам вычетов становятся равенствами, и операции над сравнениями в кольце K соответствуют операциям над равенствами в кольце.

Теорема. Каждое кольцо, гомоморфное кольцу изоморфно по неко-торому кольцу классов вычетов . При этом n-двусторонний идеал, элементы которого имеют нулевой образ в . Обратно. Любое кольцо классов вычетов является гомоморфным образом кольца K.

Примеры. В кольце целых чисел классы вычетов по произвольному полож. m>0 обозначим , где состоит из чисел, которые при делении на m дают остаток . Чтобы сложить или перемножить два класса вычетов , нужно сложить или соответственно перемножить их представителей и привести результат к его наименьшему неотрицательному остатку от деления на m.

Вопрос № 43.

Вопрос № 44. Сравнения первой степени с одним неизвестным.

Сравнения первой степени перенесением свободного члена ( с обратным знаком) в правую часть можно привести к виду

≡

Ограничим пока сравнение условием ( )=1. Это сравнение имеет столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Но когда пробегает полную систему вычетов по модулю , то пробегает полную систему вычетов. Следовательно, при одном и только одном значении , взятом из полной системы, будет сравнимо с . Итак, при ()=1 сравнение имеет одно решение.

Пусть теперь ( )=>1. Тогда, чтобы сравнение имело решения, необходимо чтобы делилось на , иначе сравнение невозможно ни при каком целом . Предполагая поэтому кратным положим =, =, =. Тогда сравнение будет равносильно такому ( по сокр. на d): , в котором уже ( = 1 и потому оно будет иметь одно решение по модулю . Пусть - наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю , тогда все числа , образующие это решение, найдутся в виде ≡ -

По модулю же числа из образуют не одно решение, а больше, столько, сколько чисел из найдется в ряде: 0, 1, 2,….,m-1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю . Сюда попадут следующие числа из

, т.е всего чисел изсравнение имеет решений.

Т. Пусть (. Сравнение =(mod m) невозможно, если не делится на . При кратном сравнение имеет решений. Разыскивая решения сравнения и ( способ, основанный на теории непрерывных дробей, ограничимся случаем ( )=1.