матан ( шпора )
.pdf§1. Множество действительных чисел и его свойства.
A,B,C - множества.- пустое множество.
a,b,c - элементы множества. a A - принадлежность.
N Z Q R - вхождение одного множества в другое.
|
p |
|
|
r |
|
, p Z,q N |
|
q |
|||
|
|
- "для любого" a N a 0
- "существует, найдется" ! - единственность
!1 N
- "или" a b
- "и"
- "если, то"
- "эквиваленция","необходимо и достаточно"
Свойства действительных чисел :
I (аксиомы сложения)
Опр.1 a,b R !a b - сумма элементов a и b. Операция нахождения суммы называется сложением.
1.a,b R a b b a - коммутативность
2.a,b,c R (a b) c a (b c) - ассоциативность
3.0 R a R a 0 0
4.a 0 R ( a) a ( a) 0
Сл.1 0 R - единственный
. 0 R 0 R
I3 I1 I3
0 0 0 0 0 0 !0 R .
II. (аксиомы умножения)
Опр.2 a,b R !a b - произведение элементов a и b. Операция нахождения произведения - умножение.
1.a,b R a b b a - коммутативность
2.a,b,c R (a b) c a (b c) - ассоциативность
3.1 0 R a R a 1 a. Сл. !1 R
4.a 0 1a - обратный для a - a 1a 1
III. (связь сложения и умножения)
1.a,b R (a b) c a c b c - дистрибутивность IV.(аксиомы порядка)
Опр.3 a R (a 0) (a 0) (a 0)
Если a 0, то ( a) 0
1.(a 0) (b 0) a b 0 2. (a 0) (b 0) a b 0
Опр.4 a,b R a b a b 0
V. (аксиомы непрерывности)
Опр.5 Отрезком a,b с концами A,B на множестве R
называют мн-во точек, удовлетв. условию a c b |
|
(интервал (a,b), полуинтервал (a,b ) |
|
Опр.6 Система отрезков an ,bn ,n 1,2,3... называется |
|
вложенной, т.е a1,b1 a2 ,b2 ... an ,bn , если: |
|
a1 a2 ... an ... ... bn ... b2 b1 |
|
1. Система вложенных отрезков мн-ва R имеет точку, |
|
общую всем этим отрезкам. |
|
Опр.7 Система отрезков an ,bn - стягивающаяся, т.е |
|
величина (bn an ) 0, если 0 n n n bn an |
|
Т. Кантера (о непрерывности мн-ва R). Вложенная |
|
система стягивающихся отрезков мн-ва R имеет общую, единственную точку для всех этих отрезков.
. I1 c an ,bn ,n 1,2,... Пусть d c, d an ,bn ,d c
d c 0, n n n bn an , d c bn an , d c d c 0, d c c - единственный .
Опр.8 R, элементы которого удовлетворяют аксиомам
I V групп называется мн-вом действ. чисел, а элементы этого множества - действ. числами.
Опр.9 Иррациональным числов называется действ. число, которое не является рациональным. Обозн: T.
Q T R, Q T , R R { , } ( , )a R a , a R a , .
§2. Модуль действ. числа и его свойства.
Опр.1 Модулем a R ( a ) называется наибольшее a и a
(1) |
|
a |
|
max{a, a} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2) |
|
a |
|
a, если a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a |
|
a, |
|
если a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(3) |
|
|
- расстояние от начала координат до точки изобр. |
|||||||||||||||||||||||||
число. a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Св.1 |
a b |
|
|
a |
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
. a |
|
a |
, |
|
b |
b |
, |
(a b) |
a |
|
b |
|
a b |
|
a |
|
b |
. |
||||||||||
Св.2 Если a 0, b 0 |
или a 0, |
b 0 |
ab |
ab. Если |
||||||||||||||||||||||||
a 0,b 0 или a 0, |
b 0 |
ab |
ab. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Св.3 a b a b a b .
св.1
. a b a ( b) a b a b .
Св.4 a c (c 0) c a c
. a 0 a c, a 0 a c,a c a c a c.
§3. Функция (отображение). Действительные функции. Действительные переменные и их простейшие свойства.
Опр.1 Если каждому элементу x из мн-ва X ставится в соответствие по некоторому правилу и закону f !y Y y f (x), то говорят что на множестве X определена ф-ия
y f (x) или задано отображение f |
: X Y. |
|
||||||
y - образ элемента x (x - прообраз). X D(y) |
- ООФ. |
|||||||
Способы задания функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. алгебраический(аналитический): y 1 |
|
x |
|
. |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x, если x 0 |
||||||||
|
2x 1, если 0 |
x 1 |
||||||
2. кусочно-аналитический: y |
||||||||
|
1 |
|
, если 1 x |
|||||
|
|
|||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
3. графический (нарисовать график, напр. y x ) Опр.2 f : X Y называется инъективным, если разным значениям x X соответствуют разные y Y.
Опр.3 f : X Y называют сюрьективным, если
y Y x y f (x).
Опр.4 f : X Y называется биективным, если оно одновременно инъективно и сюрьективно.
Опр.5 Если f : X Y и g :Y Z, то g f : X Z - композиция отображений или сложная функция. Опр.6 Если f : X Y - биекция, то f 1 :Y X - обратное отображение или обратная функция. Причем f 1 f 1 ( f f 1 1)
Опр.7 Действительной функцией действ. переменного x называется отображение из некоторого подмн-ва мн-ва действ. чисел в некоторое другое мн-во этого подмн-ва.
X D( f ), f : R X Y R, y f (x)
Опр.8 y f (x) монотонно возрастает(убывает) в своей области определения, если
x1,x2 D(y) x1 x2 f (x1 ) f (x2 ) f (x1 ) f (x2 )
Опр.9 Числовое мн-во X - симметрично относительно
O, если x X ( x) X.
Опр.10 y f (x) определенная на сим. мн-ве X - четная
(нечетная), если: f ( x) f (x) (f ( x) f (x))
Т.1 Сумма двух четных функций - функция четная, сумма четной и нечетной функций - функция нечетная.
. Пусть f (x), g(x) - четные ф-ии. Рассмотрим f (x) g(x). Т.к. f ( x) f (x) и g( x) g(x), то складывая равенства получим f ( x) g( x) f (x) g(x).
Т.е. f (x) g(x) - четная .
Т.2 Произведение двух четных и двух нечетных функций - функция четная, произведение четной и нечетной - - функция нечетная. (Доказывается аналогично) Опр.11. X называется ограниченным мн-вом если есть отрезок полностью содержащий это множество.
Опр.12 y f (x) - ограниченная, если ее Y - огр. мн-во.
§4. Числовые последовательности. Предел числовой числовой последовательности. Число е.
Опр.1 Отображение f : N R называется числовой последовательностью(ЧП). n xn (xn - общий член ЧП) ЧП ограничена снизу x1.
Опр.2 ЧП xn называется монотонно убывающей (возрастающей), если n N xn xn 1 xn xn 1 . Опр.3 Окрестностью точки a радиуса r 0 на числовой прямой наз-ся интервал с центром в этой точке. Обозн:
U(a,r) (a r,a r). Проколотая окр-ть: U(a,r)
(a r,a) (a,a r).
Опр.4 a lim xn : 0 N( ) n N xn a .
x
Опр.5 Последовательность, имеющая предел наз-ся сходящаяся.
Сходящиеся числовые последовательности обладают свойствами:
Т.1 Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.
Т.2 Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Последовательность xn 1 |
1n n - сходится и |
||||
x |
|
1 |
n |
n |
|
|
e (число Бернулли). |
||||
lim |
1 |
|
|
§5. Предел функции в точке. Свойства функций, имеющих предел в точке. Предел на бесконечности. Бесконечные пределы.
Пусть задана f (x) и x U(x0 ,r)
Опр.1 Число A наз-ся пределом функции в т. x0 , если:
0 ( ) 0 x U(x0 , ) f (x) A .
U(x0 , ) 0 x x0 .
Т.1 Если f (x) имеем предел в точке, то он единственный.
. |
|
lim |
f (x) A |
|
|
lim |
f (x) B |
|
B A |
|
B A |
0 |
|||||||||||
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
B A |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 ( ) 0 x U(x0 , 1) |
f (x) A |
|
|
и |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B A |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
( ) 0 x U (x , |
2 |
) |
f (x) B |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
A B |
|
|
|
|||||||||
min{ 1, 2},x U(x0 |
, ), |
f (x) |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Получили противоречие .
Т.2 Если ф-ия f (x) имеет предел в точке x0 , то f (x) -
- ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
|
|
|
|
|
. Пусть lim |
f (x) A. Тогда 1 ( ) 0 x U(x0 , ) |
|||
|
x x0 |
|
|
|
|
f (x) A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
A 1 f (x) A 1 - f (x) - огр. в U (x0 , ) . |
||||
|
|
|
|
|
Т.3 Если lim |
f (x) A, A 0, |
то существуетU(x0 , ), где |
||
|
x x0 |
|
|
ф-ия сохраняет знак своего предела.
|
|
|
|
тогда A |
|
|
|
|
|
|
|
. Пусть A 0, |
0 |
( ) 0 x U(x0 , ) |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
f (x) A |
|
A |
f (x) A A |
A |
0. |
||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
Пусть A 0, тогда A |
|
|
|
|
|||||
|
0 ( ) 0 x U(x0 , ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
f (x) A |
|
A |
2 |
f (x) A A |
2 |
A |
2 |
0 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т.4 Если y f (x) имеет lim |
f (x) y0 , а z g(y) - |
|||||||||
|
|
|
|
|
x x0 |
|
lim g( f (x)) z0 . |
|||
|
lim g(y) z0 , то для z g( f (x)) |
|||||||||
|
y y0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
Опр.2 Число A называется пределом на бесконечности,
если lim f (x) A : 0 M ( ) 0 x x M
x
f (x) A .
Опр.3 Предел lim f (x) наз-ся бесконечным, если
x x0
M 0 (M ) 0 x U(x0 , ) f (x) M.
Опр.4 Бесконечный предел на бесконечности: ээ....
уу...аааа...на лекциях не давали.
§6. Бесконечно малые в точке функции и их свойства. Необходимые и достаточные условия существования
Опр. (x) - бесконечно малая (б.м.) ф-ия в точке x0 , если: |
|||
|
|
|
|
lim (x) 0: 0 ( ) 0 |
x U(x0 , ) |
(x) |
. |
x x0 |
ф-ий - ф-ия б.м. в точке x0. |
||
Т.1 Сумма двух б.м. в точке x0 |
(методом матем. индукции теорема распространяется на
любое конечное число слагаемых). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
. Пусть |
x x |
0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
, тогда пусть |
||||||||||||
|
|
lim (x) 0 |
|
lim (x) 0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) 0 x U(x , ) |
(x) |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 ( ) 0 x U(x0 |
, 2 ) |
(x) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min{ 1, 2} x U(x0 , ) |
(x) (x) |
|
(x) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
(x) |
|
|
|
|
lim (x) |
(x) 0 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.2 Произведение функции б.м. на функцию ограниченную
в точке x0 - функция б.м. в точке x0 .
. Пусть (x) - б.м. в точке x0 функция, а f (x) - огран.
Тогда для f (x) : M 0 x U(x0 , 1) f (x) M , а для
|
|
|
|
|
|
(x) : 0 2 |
( ) 0 x U (x0 |
, 2 ) |
(x) |
, |
|
|
|
|
|
M |
|
min{ 1, 2}, x U(x0 , ). Пусть g(x) (x) f (x), тогда
g(x) |
|
(x) f (x) |
|
(x) |
|
f (x) |
|
M |
M |
g(x) - б.м. в точке x0 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Т.3 Произведение любого числа б.м. функций в точке x0 - функция б.м. в этой точке.
Т.4 (критерий существования предела функции в точке)
lim |
|
|
|
, где |
f (x) A |
x U (x0 |
, ) f (x) A (x) |
||
x x0 |
|
|
|
|
(x) - б.м функция.
. 1.(необходимость)
Пусть lim f (x) A : 0 ( ) 0 x U(x0 , )
x x0
f (x) A , (x) f (x) A, f (x) A (x),
lim (x) 0.
x x0
2.(достаточность)
Пусть x U(x0 , ) f (x) A (x) lim (x) 0,
(x) |
, (x) f (x) A, |
f (x) A |
lim |
f (x) A. |
. |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
§7. Арифметические операции над пределами.
Утв.1 Если f (x) C, |
то |
lim f (x) C. |
|
|
|
Т.1 Если f (x) имеет lim |
x x0 |
|
|
lim g(x) B, то |
|
f (x) A, а g(x) - |
|||||
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
lim( f (x) g(x)) A B. |
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Т.к. lim f (x) A, |
то x U(x0 , 1) |
f (x) A (x), |
|||
x x0 |
|
|
|
|
|
lim (x) 0. |
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. lim g(x) B, то x U(x0 , 2 ) |
g(x) B (x), |
||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim b(x) 0. min{ 1, 2} x U (x0 , ) |
f (x) g(x) |
||||||
x x0 |
|
|
|
|
|
lim (x) 0 |
|
A B (x), где (x) (x) (x), |
|
||||||
lim f (x) g(x) A B . |
|
x x0 |
|
||||
|
|
|
|||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
Т.2 Если |
lim |
f (x) A lim g(x) B |
|
|
|||
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|
lim f (x) g(x) A B |
. |
|
|
|
|||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
. f (x) A (x), g(x) B (x), f (x) g(x) (A f (x)) (B (x))
бесконечно малая
A B B (x) A (x) (x) (x) A B x), где
(x) - б.м. в т. x0. Т.е. lim f (x) g(x) A B .
Сл. Постоянную (С) можно выносить за знак предела: lim Cf (x) C lim f (x).
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Т.3 Если |
lim |
|
|
f (x) A lim g(x) B B 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
f (x) |
|
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x x0 |
g(x) |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
. |
|
|
|
- ограничена в U(x0 , ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 ( ) x U(x0 , ) |
g(x) B |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
B |
|
|
|
|
g(x) B |
|
B |
|
g(x) |
|
, |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
, |
|
|
g(x) |
|
|
|
B |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
- ограничена в U (x0 , ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(A |
(x)) B A (B (x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно малая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(x) B (c) A . Следовательно, по критерию |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g(x) B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
|
f (x) |
|
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x x0 g(x) |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
§8. Предельный переход в неравенствах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т.1 Если |
lim |
|
|
f (x) A lim g(x) B A B |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
то U(x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
где f (x) g(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
. В силу непрерывности мн-ва R : |
A C B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C A 0, 1 ( ) 0 x U(x0 , 1) |
f (x) A |
|
C A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) A C A, f (x) C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B C 0, 2 ( ) 0 x U(x0 , 2 ) |
g(x) B |
B C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) B (B C), g(x) C, |
min{ 1, 2}, x U (x0 , ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) C g(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) g(x) (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Т.2 Если x U(x0 , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
f (x) lim (x) |
|
|
|
lim |
f (x) lim g(x) lim (x) |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
. Пусть lim f (x) lim g(x). Тогда 0 1, 2 , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
min{ 1, 2},x U (x0 , ), |
f (x) A |
, |
(x) A |
|
. |
|
|
A f (x) g(x) (x) A A g(x) A
lim g(x) A .
x x0
Т.3 (о предельном переходе в неравенствах)
Если lim f (x) A, |
lim g(x) B, то: |
x x0 |
x x0 |
1)если f (x) g(x), то A B, 2)если f (x) g(x), то A B, 3)если f (x) B, то A B, 4) если f (x) B, то A B.
Т.1
. 1) Пусть A B f (x) g(x) - противоречие.
Т.1
2)Пусть A B f (x) g(x) - противоречие.
3) B g(x), 4) B g(x) .
§9. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела в точке.
Пусть f (x) определена в U(x0 , ).
Опр.1 Число A lim f (x) наз-ся правым односторонним
x x0
пределом (x x0 ), если:
0 ( ) 0 x x0 x x0 f (x) A .
Опр.2 Число A lim f (x) наз-ся левым односторонним
x x0
пределом (x x0 ), если:
0 ( ) 0 x x0 x x0 f (x) A .
Т.(необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке)
lim f (x) A |
|
|
|
lim |
f (x) lim f (x) A |
|
|
|||||||||||||||
x x0 |
|
|
|
x x0 |
x x0 |
|
|
|||||||||||||||
. 1)необходимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пусть lim |
f (x) A : 0 ( ) 0 x |
0 |
x x0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) A |
. |
x |
|
x x |
|
f (x) A |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 x x0 |
f (x) A |
|
|
|
||||||||||
lim f (x) lim |
|
f (x) A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) достаточность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть lim |
|
f (x) |
lim |
f (x) A. Пусть |
0, тогда |
|
||||||||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( ) 0 x x0 x x0 1 f (x) A2 ( ) 0 x x0 2 x x0 f (x) A
min{ 1, 2}, 0 x x0 f (x) A ,
lim f (x) A .
x x0
§10. Первый замечательный предел.
Т. (о первом замечательном пределе). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Существует |
lim |
sin x |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. 1) 0 x |
2 |
, |
S OBA |
S |
OBA |
S OCA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
S OBA |
1 |
2 |
OA BK 1 |
2 |
R2 |
sin x, |
S OBA |
1 |
|
R2 x, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1cos x |
||||||||||
S OCA 1 |
2 R2 |
tg x sin x x tg x 1 xsin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x sin x |
|
1, lim 1 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
cos x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
cos x 1: 0, |
( ) 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 cos x sin x |
|
|
|
|
|
|
, |
|
sin x |
x |
|
|
|
|
|
|
, x |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
lim |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim cos x 1 |
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
x, |
|
|
|
|
|
|
sin( t) |
|
|
|
|
sint |
|
|
|
|||||||||||||||
2) - |
2 |
x 0, |
|
lim |
|
|
|
lim |
lim |
1 (2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
t 0 |
|
|
|
t 0 |
t |
|
|
|
t 0 t |
|
|
|||||||||||||||||||||
Из (1) и (2) следует, что lim |
sin x |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Другие замечательные пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
tg x |
1, |
|
lim |
arcsin |
1, lim |
arctg x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§11. Второй замечательный предел и связанные с ним пределы.
Т. (1 ) Существует предел |
|
lim |
1 1 |
x |
x |
e |
|
(1) - второй |
|||||||||||||||||
замечательный предел. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Сл.1 |
(1 )lim 1 x 1x e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 x |
|
||||||
Сл.2 |
0 |
|
lim |
loga |
1 x |
|
|
1 |
|
|
lim |
1. |
|||||||||||||
|
0 |
|
x 0 |
|
x |
|
|
ln a |
|
x 0 |
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
(2) - третий замечательный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Сл.3 |
0 |
|
|
lim |
ax |
1 |
ln a |
|
lim |
ex 1 |
|
1. |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
четвертый замечательный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сл.4 |
lim |
1 x |
1 |
|
пятый замечательный предел. |
||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§12. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
Пусть задана f (x) D(y), x0 D(y). |
если lim f (x) f (x0 ), т.е. |
Опр.1 f (x) - непрерывна в точке x0 |
|
|
x x0 |
0 ( ) 0 x U(x0 , ) f (x) f (x0 ) .
Опр.2 f (x) - непрерывна на мн-ве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Т.1 Если функции f (x) и g(x) - непрерывны в т. x0 и g(x) 0, то непрерывны следующие функции.
1) f (x) g(x), 2) f (x) g(x), 3) f (x).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. 1) (x) f (x) g(x), lim (x) lim f (x) g(x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|||||
lim f (x) lim g(x) f (x0 ) g(x0 ) (x0 ). |
|
|
|||||||||||||||||||
x x0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
lim (x) lim g(x) f (x) |
||||||||||||||
2) (x) g(x) f (x), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim g(x) lim |
f (x) g(x0 ) f (x0 ) (x0 ). |
|
|
||||||||||||||||||
x x0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
||||
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|||||
3) (x) |
|
|
, lim (x) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 ) . |
|||||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x x0 |
|
x x0 g(x) |
|
|
|
g(x0 ) |
|
|
|||||||||||
Т.2 (о непрерывности сложной функции) |
|
|
|||||||||||||||||||
Если y f (x) - непрерывна в точке x0 , |
z g(y) - |
||||||||||||||||||||
- непрерывна в точке y0 f (x0 ), то функция |
|
|
|||||||||||||||||||
z g( f (x)) (x) - непрерывна в точке x0 . |
|
|
|||||||||||||||||||
lim (x) g( f (x |
|
)) lim g( f (x)) g |
|
|
lim f (x) |
. |
|||||||||||||||
x x0 |
|
|
0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
|
||||||||
. Пусть |
0, |
z g(x) - непрерывна в точке y0 |
f (x0 ), |
||||||||||||||||||
тогда ( ) 0 y |
|
y y0 |
|
g(y) g(y0 ) |
. А т.к. |
||||||||||||||||
y f (x) - непрерывна |
в точке x0 |
0 , |
|
|
|||||||||||||||||
( ) 0 x |
x x0 |
|
|
|
f (x) f (x0 ) |
|
|
|
g( f (x)) g( f (x0 )) . Следовательно z g( f (x)) - - непрерывна в точке x0.
§13 Классификация точек разрыва функции одной переменной.
Пусть задана f (x) и x0 D( f ).
Опр.1 Ф-ия f (x) называется разрывной в точке x0 , если
она не является в этой точке непрерывой. Т.е. lim f (x0 ).
x x0
Опр.2 Точка x0 - точка разрыва 1-го рода ф-ии f (x), если:
а) lim f (x) A, A f (x0 ) - точка устранимого разрыва.
x x0
б) lim f (x) lim f (x) - точка неустранимого разрыва.
x x0 |
x x0 |
h(x0 ) lim |
f (x) lim f (x) - скачок функции в точке x0. |
x x0 |
x x0 |
Опр.3 Точка x0 - точка разрыва 2-го рода, если lim f (x)
x x0
или lim f (x) не существует или бесконечен.
x x0
§14. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Опр.1 y f (x) - непрерывна на a,b , если она непрерына в каждой точке a,b , в т.a - непр. справа, в т.b - слева.
Т.1 Если f (x) - непрерывна на a,b и f (a) f (b) 0, то
c a,b f (c) 0.
Т.2 (первая теорема Вейерштрасса)
Если f (x) - непрерывна на a,b , то она на этом отрезке ограничена. A,B (A B) x a,b A f (x) B.
Т.3 (вторая теорема Вейештрасса)
Непрерывная на a,b ф-ия достигает на этом отрезке своих верхних и нижних граней, которые наз-ся соответсвенно наибольшее и наименьшее значения функции на a,b .
Обозн: inf f (x) A, sup f (x) B.
a,b a,b
, a,b A f ( ) min f (x), B f ( ) max f (x).
|
a,b |
|
|
|
|
|
a,b |
. По Т.2 f (x) |
- ограничена на a,b , т.е. |
|
|||||
A, B (A B) x a,b A f (x) B. |
|
||||||
Пусть f (x) B. Рассмотрим (x) |
|
|
1 |
0. (x) - |
|||
- непрерывна на a,b . |
|
|
B f (x) |
||||
|
1 |
|
|
|
|
||
B1 0 x a,b (x) B1, |
|
|
B1 |
(B1 0), |
|||
|
B f (x) |
||||||
B f (x) 1 |
, f (x) B 1 |
|
B - противоречие (B - |
||||
B1 |
|
B1 |
достигает своей |
||||
не верхняя часть. Следовательно, f (x) |
верхней грани B, т.е. a,b f ( ) B max f (x) .
0,B
§15. Обратная функция и ее непрерывность.
Т. Если f (x):
1)определена на a,b , f (a) c, f (b) d,
2)монотонно возрастает(убывает) на a,b
f (a) f (x) f (b) f (b) f (x) f (a) , 3) непрерывна на a,b ,
то на c,d определена обратная функция f 1 (y), монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная на c,d .
§1. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной.
Задача 1. Написать уравнение касательной к графику функции
y f (x) |
в точке M0 (x0 , y0 ), y f (x0 ). |
|||||||||||
MM0 K , |
M1M0 K , x x0 x, y y0 y. |
|||||||||||
Опр.1 Предельное положение секущей M0 M при x 0 |
||||||||||||
называется касательной к кривой y f (x) в точке x0 . |
||||||||||||
Рассмотрим |
M0 KM. MK y y0 y, M0 K x. |
|||||||||||
tg |
y |
|
tg k, k tg lim |
y |
(1). |
|||||||
|
x |
x 0 |
|
|
|
x 0 x |
||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
y |
|
|
||
Уравнение касательной: y y0 lim |
x x0 (2). |
|||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 x |
||||||
Задача 2. Тело движется прямолинейно S s(t) из точки A. |
||||||||||||
Найти мгновенную скорость тела в точке B. |
||||||||||||
В момент t0 тело находилось в точке A. В момент t - в т.B. |
||||||||||||
t t0 t, s(t) s(t0 ) S, vср |
S |
|||||||||||
|
, |
|||||||||||
t |
||||||||||||
vмгн lim vср lim |
S |
(3). |
||||||||||
|
||||||||||||
t 0 |
t 0 t |
|||||||||||
Пусть y f (x) - определена и непрерывна в окр. точки x. |
Дадим x приращение x, так чтобы x x U (x, ).y f (x x) f (x) - приращение функции в точке x.
Опр.2 Конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что x 0, наз-ся
производной ф-ии f (x) в точке x, а ф-ия - дифференцируемая
в точке x. lim |
y |
|
dy |
y (x). |
||
|
|
|||||
|
x 0 x |
|
dx |
|||
Т. Если y f (x) |
- дифференцируема в точке x0 , то она в |
|||||
этой точке непрерывна. |
||||||
tg lim |
y |
y (x0 ). |
||||
|
||||||
x 0 x |
|
|
|
|||
Геометрический смысл производной: |
Если y f (x) - дифференцируема в точке x0 , то к графику функции в точке M0 (x0 , y0 ) (y0 f (x0 )) можно провести касательную, угловой коэффициент которой будет равен значению производной в точке x0 .
y y0 |
y (x0 )(x x0 ) |
|
- ур-е касательной к кривой в т.M0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
y y0 |
|
1 |
x x0 |
|
- ур-е нормали к кривой в т.M0 |
|
|
||||||
|
|
y (x0 ) |
|
производной: |
||
Механический смысл |
||||||
Производная - это скорость изменения функции в т.M0. |
§2.Два определения дифференцируемой в точке функции и их эквивалентность. Дифференциал 1-го порядка и его геометрический смысл.
Опр.1 Функция y f (x) - дифференцируема в точке x0 , если у нее в этой точке есть производная.
Опр.2 Функция y f (x) - дифференцируема в точке x0 , если ее приращение в этой точке можно представить
в виде: y A x (x0 , x) x. A не зависит от x, lim (x0 , x) 0 (б.м.).
Т. Определения 1, 2 о дифференцировании функции в точке эквивалентны.
. 1) 1 2 |
|
|
||
lim |
y |
y (x), |
y |
y (x0 ) ( x), |
|
|
|||
x 0 x |
x |
y y (x0 ) x ( x) x, A y (x0 ) функция дифференцируема в смысле опр.2
2) 2 1
y A x ( x) x, y A ( x),x
lim |
y |
lim A ( x) A y (x0 ) - производная |
|
||
x 0 x |
x 0 |
существует, следовательно,
y f (x) - дифференцируема в смысле опр.1 . Опр.3 Главная линейная относительно приращения аргумента часть приращения дифференцируемой ф-ии называют дифференциалом 1-го порядка или 1-м дифференциалом этой функции.
y A x ( x) x, A y (x0 ), dy A x y (x0 ) x (2)
dx x, dy y (x0 ) dx
MK y, TK y (x0 ) x dy.
Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции - это приращение точек касательной и кривой y f (x) в точке M0.
y dy d( x) x, f (x) f (x ) dy
0
малое число
f (x) f (x0 ) dy (3)
(для приближенного вычисления значений функций).
§3. Производные основных элементарных функций.
1) y xn ,n Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дадим x приращение x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y x x |
n |
x |
n |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
n |
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
n |
|
|
5-й зам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nxn 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x 0 x |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) y loga x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a 0, |
a 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Дадим x приращение x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y loga x x loga |
|
|
x loga |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 xx |
3-й зам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y |
|
|
loga |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
xln a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 0 x |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) y ax , a 0, a 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Дадим x приращение x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y ax x ax |
|
ax a x 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
y |
|
|
ax |
|
a x |
1 |
|
|
4-й зам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
предел |
ax |
ln a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 0 x |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) y sin x. Дадим x приращение x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
||||||
y sin x x sin x 2cos x |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
|
|
cos x x2 sin x2 |
1-й зам. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
предел |
cos x. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 x |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) y cos x. Дадим x приращение x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
||||||||
y cos(x x) cos x 2sin x |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
y |
lim |
|
sin x x2 sin x |
2 |
|
sin x. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x 0 x |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Правила дифференцирования.
Утв.1 Производная постоянной равна нулю: f (x) C, y f (x x) f (x) C C 0,
lim y 0 C 0
x 0 x
Т.1 Если u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x, то их
сумма и разность u(x) v(x) u v (1).
Т.2 Если u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x, то их
произведение u(x) v(x) u'v uv' (2).
. Дадим x приращение x.
u(x) u, v(x) v, u u(x x) u, u(x x) u u,
v v(x x) v, м(x x) v v. |
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим z u(x) v(x). |
|
|
|
|
||||||||
z u(x x) v(x x) u v |
|
|
|
|||||||||
u v v u u v u v u v. |
|
|
|
|||||||||
(u v) lim |
|
z |
lim |
v u u v u v |
lim |
u |
|
|||||
|
x 0 x |
x 0 |
x |
x 0 v |
||||||||
u lim |
v |
lim |
u v |
u v u v . |
|
|
|
|||||
x 0 x |
x 0 |
x |
|
|
|
|
Т.3 Если u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x, то их
частно |
u(x) |
|
u 'v uv' |
(3). |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
v |
2 |
|||||
|
v(x) |
|
|
|
§5. Дифференцирование обратной и сложной функции.
Т.1 Если y f (x) монотонна и дифференцируема в окр-ти точки x0 и ее производная y (x0 ) 0, то обратная функция x f 1 (y) дифференцируема в точке y0 f (x0 ) и ее
производная |
x (y0 ) |
1 |
|
|
|
(1). |
|
||||
|
y (x0 ) |
|
|
|
|||||||
. Дадим y0 |
приращение y. |
|
|
|
|
||||||
x x(x0 x) x(y0 ), |
|
|
|
|
|
||||||
x (y0 ) lim |
x |
lim |
1 |
|
|
|
1 |
. |
|||
|
y |
|
y (x0 ) |
||||||||
y 0 y |
x 0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Т.2 (о дифференцировании сложной функции).
Если y f (x) дифференцируема в точке x0 , а ф-ия z g(y) дифференцируема в точке y0 f (x0 ), то сложная функция
z g f (x) |
дифференцируема в точке x0 и ее производная |
||||||||||
z (x0 ) g(y0 ) y (x0 ) |
|
(2). |
|
|
|
|
|||||
. Дадим x0 |
приращение |
|
x. Тогда y получит приращение |
||||||||
y f (x0 x) f (x0 ) y y0 |
, а z g(y) - приращение |
||||||||||
z g(y0 y) g(y0 ), |
|
y |
|
||||||||
z (x0 ) lim |
z |
|
lim |
z |
|
z (y0 ) y (x0 ) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
|
||||||||
x 0 x |
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
§6. Метод логарифмического дифференцирования.
y u(x)v x . Прологарифмируем обе части, получим: ln y v(x)ln u(x). Продифференцируем равенство:
1 |
y v (x) lnu(x) v(x) |
|
1 |
u (x), |
|||||
y |
|
|
u(x) |
|
|
||||
|
|
|
v(x) |
|
|
|
|
|
|
y y v |
'(x) lnu(x) |
|
u (x) |
, |
|
||||
u(x) |
|
||||||||
|
|
v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x) |
|
||||
y' u(x) |
v'(x) lnu(x) |
|
|
u |
(x) . |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
u(x) |
|
|
§7. Производные высших порядков. Бином Ньютона.
Опр.1 Второй производной или производной 2-го порядка ф-ии y f (x) наз-ся производная ее первой производной.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
d2 y |
|||||||||||
|
y y , |
y |
y , |
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
или y |
|
|
|
, |
y |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) y ax , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y ax ln a, |
y ax ln2 |
a, |
... , |
|
y n |
ax lnn a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2) y ln x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
1 |
, |
y |
|
|
1 |
|
, y |
|
1 2 |
, |
y 4 |
1 2 3 |
, |
... , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y n |
|
|
1 |
|
n 1 |
|
n 1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) y sin x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y cos x sin |
|
|
|
|
|
x |
|
, y cos |
|
|
x sin |
2 |
|
|
x |
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
... , |
y |
|
|
sin |
n |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично пункту 3 получаем: |
y |
|
|
cos |
n |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр.2 Биномом Ньютона называет n-ая степень двучлена: x a n .
x a n |
xn A1xn 1 |
A2 xn 2 ... Ak xn k |
... An 1x An |
|||||||||||||||||||||
Продифференцируем обе части равенства: |
|
|||||||||||||||||||||||
n x a n 1 nxn 1 A1 n 1 xn 2 A2 n 2 xn 3 ... |
|
|||||||||||||||||||||||
Ak |
n k xn k 1 ... An 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Еще раз продифференцируем обе части неравенства: |
|
|||||||||||||||||||||||
n n 1 x a n 2 |
n n 1 xn 2 A1 n 1 n 2 xx 3 ... |
|||||||||||||||||||||||
... n k n k 1 Ak xn k 2 |
... 2An 2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Дифференцируя равенство k-ый раз, получим: |
|
|||||||||||||||||||||||
n n 1 ... n k 1 x a n k |
n n 1 ... n k 1 xn k |
|
||||||||||||||||||||||
A1 |
n 1 n 2 ... n k 2 xn k 1 |
... Ak n k ! |
|
|||||||||||||||||||||
n-ое дифференцирование: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n! n!An , |
|
|
n n 1 an 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
an An , |
nan 1 An 1, |
2An 2 ,..., |
|
|||||||||||||||||||||
n n 1 ... n k 1 an k Ak |
n k ! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n n 1 ! |
n 2 |
|
|
|
|
||||
An an , |
An 1 na |
|
, |
An 2 |
|
|
|
a |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n n 1 n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n k |
|
|
|
n k |
|
n k |
|
|
|
|||||||||||||
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
, |
|
Ak Cn |
a |
|
|
, |
|
|
|||
|
|
|
n k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n k |
|
|
|
n n 1 ... n k 1 |
|
|
k |
n n 1 ... n k 1 |
|
|||||||||||||||
Cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||
|
n k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn |
|
|
n Cn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x a n |
Cn0 xn a0 |
Cnn 1xn 1a1 ... Cnk xn k ak ... Cnn x0an |
||||||||||||||||||||||
x a n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Cnk xn k ak |
- бином Ньютона. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§8. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Опр. Если функции x(t) и y(t) непрерывны на , , ф-ия x(t) монотонна и имеет обратную ф-ию t(x), то сложная ф-ия F(x) y t(x) наз-ся параметрически заданной ф-ией. F(x) y t(x) - параметрически заданная ф-ия.
(1) |
x x(t) |
|
|
, t ,b |
|
|
y |
y(y) |
Т. Если x(t) и y(t) дифференцируемы на некотором отрезке, то параметрически заданная функция y t(x) диф-ма
и производная ее равна yx
|
|
|
dy |
|
|
dy |
|
yt |
|
|
. yx |
|
|
dt |
|
. |
|||||
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
xt |
||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
yxx |
yx x |
yxt tx |
yx t |
|||||||
|
|
ytt xt xtt yt |
|
(3) |
|
|||||
|
|
xt 3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy
dx
1
xt
yt (2) xt
ytxt t
1 xt
§9. Основные теоремы дифференциального исчисления.
п.1 Теоремы Ролля и Коши Т.1 (Ролля)
Если y f (x) : 1) определена и непрерна на a,b , 2) дифференцируема на a,b , 3) f (a) f (b), то найдется точка с на a,b такая, что f (c) 0.
Т.2 (Коши) Если f (x) и g(x):
1)определены и непрерывна на a,b ,
2)дифференцируемы на a,b , 3) g(x) 0 на a,b , то существует точка c a,b , такая, что
справедлива формула: |
f (b) f (a) |
|
f (c) |
|
(1) |
g(b) g(a) |
g (c) |
|
|||
|
|
|
|
п.2 Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Т. Если f (x) определена и непрерывна на a,b и
дифференцируема на a,b , |
то существует точка c, |
|
такая, что справедливо: |
|
|
f (b) f (a) f (c) b a |
|
(2) |
. Рассм. вспомогательную ф-ию F(x) f (x) x. F(x) - определена и непрерывна на a,b .
F(x) - диф. на a,b , как разность диф. функций и F (x) f (x) . Подберем так, чтобы F(a) F(b)
F(a) f (a) a F(b) f (b) b,
b a f (b) f (a), f (b) f (a) . b a
При найденном для ф-ии F(x) выполнены все условия теоремы Ролля и по ней существует т.c,
в которой F (c) 0, т.е. f (c) 0, f (c).
f (b) f (a) f (c) . b a
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
C c, f (c) , |
tg |
KB |
|
f (b) f (a) |
f (c) |
AK |
|
||||
|
|
|
b a |
§10. Условия постоянства и монотонности функций на интервале.
Т.1 Если f (x) - диф. на a,b и f (x) 0 |
на a,b , то |
f (x) const ( f (x) - постоянная) |
|
. Пусть x1 x2 и x1,x2 a,b . Тогда на x1,x2 выполнены все условия Т. Лагранжа, т.е существует точка c x1, x2
f (x2 ) f (x1 ) f (c) x2 x1 , f (c) 0 f (x2 ) f x1 , т.е. f (x) const .
Т.2 (условие возрастания (убывания) функции на интервале)
Если f (x) - диф. на a,b и f (x) 0 f (x) 0 , то f (x)
возрастает (убывает) на a,b . |
|
|
. (убывание) |
|
|
Пусть x1,x2 - прозвольные точки принадлежащие a,b |
и |
|
x1 x2. По условию f (x) 0 x a,b , |
тогда на x1, x2 |
для |
f (x) выполнены все условия Т. Лагранжа. Следовательно,
f (x2 ) |
f (x1 ) f (c) x2 x1 0, где c x1, x2 |
f (x2 ) |
f (x1). Т.е f (x) убывает на a,b по определению . |
§11. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Пусть задана y f (x) и x0 - внутренняя точка области определения.
Опр.1 В точке x0 функция f (x) имеет максимум(минимум)
при условии, что x U (x0 , ) f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 ) Максимум и минимум экстремум
Т.1 (необходимое условие экстремума)
Если y f (x) имеет экстремум в точку x0 , то f (x0 ) 0
или не существует.
Опр.2 Точки, в которых f (x) 0 или не существует, называются критическими (станционарными, подозрительными) по экстремуму.
Т.2 (1-ое достаточное условие экстремума)
Пусть y f (x) - диф. в окрестности критической по экстрему точке, кроме может быть самой этой точки. Тогда: 1) если при переходе черех точку x0 f (x) меняет знак, то в точке x0 есть экстремум, а именно:
а) максимум, если при x x0 |
f (x) 0 |
и при x x0 |
f (x) 0, |
f (x) 0 |
|
б) минимум, если при x x0 |
и при x x0 |
|
f (x) 0. |
|
|
. 1) (минимум) Пусть при переходе через x0 f (x) меняет знак / , тогда по т. Лагранжа:
x c x0 , f (c) 0 f (x0 ) f (x) f (c) x0 x 0
Значит f (x0 ) f (x),
x0 c x, f '(c) 0 f (x) f (x0 ) f (c) x x0 0
Значит f (x) f (x0 ). Следовательно по опр.1 в т.x0 есть экстремум, а именно минимум.
2) Пусть при переходе через т.x0 f (x) 0 постоянно,
т.е x U (x0 , ) f (x) 0. Тогда по т. Лагранжа:
x c x0 , f (x0 ) f (x) f (c) x0 x 0 f (x0 ) f (x), x0 c x, f (x) f (x0 ) f (c) x x0 0 f (x) f (x0 ).
Следовательно по опр.1 экстремума в т.x0 НЕТ . Т.3 (2-ое достаточное условие экстремума)
Если y f (x) имеет f (x) и f (x) в U (x0 , ) и f (x) 0,то
1)если f (x0 ) 0, то в т.x0 - минимум,
2)если f (x0 ) 0, то в т.x0 - максимум.
§12. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Пусть y f (x) - непрерывна на a,b , тогда по 2-ой теореме Вейерштрасса у нее есть на этом отрезке наибольшее и наменьшее значения. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения необходимо:
1)найти критические по экстремуму точки из a,b ,
2)вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка a,b ,
3)из полученных значений выбрать самое большое и самое маленькое.
§13. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба.
Пусть y f (x) - непрерывна a,b , a x1 x2 b,
A a, f (a) ,B b, f (b) ,C x1, f (x1 ) ,D x2 , f (x2 ) .
Уравнение CD : |
|
y f (x1) |
|
|
|
x x1 |
, |
|||||
|
|
|
f (x2 ) f (x1) |
|
|
x2 x1 |
||||||
y |
x x1 f (x2 ) f (x1 ) |
f (x1 ), |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
x2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
f (x2 ) x x1 f (x1 ) x2 x |
|
, |
|
|
|
||||||
|
x2 x1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l(x) |
f (x2 ) x x1 |
f (x1 ) x2 |
x |
|
(1) |
|||||||
|
x2 x1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр.1 На x1, x2 график ф-ии y f (x) имеет выпуклость
вверх (вниз), если x x1, x2 |
l(x) f (x) |
l(x) f (x) . |
Т.1 Если ф-ия y f (x) имеет f |
(x) и f (x) |
на a,b и |
f (x) 0 f (x) 0 , то на a,b ф-ия f (x) имеет выпуклость вниз (вверх).
Опр.2 Точка x0 , при переходе через которую график ф-ии y f (x) сменяет направление выпуклости, называется точкой перегиба ф-ии f (x), а точка M0 x0 , f (x0 ) - точкой перегиба графика функции.
Т.2 (необходимое условие перегиба)
Если в точке x0 функция имеет перегиб, то f (x) 0 или не существует.
Опр.3 Точки, в которых f (x) 0 или не существует называются критическими по перегибу.
Т.3 (достаточное условие перегиба)
Для того чтобы в точке x0 , критической по перегибу, ф-ия f (x) имела перегиб, достаточно, чтобы при переходе через эту точку f (x) меняла знак. Если f (x) знака не меняет, значит в т.x0 перегиба НЕТ.
§14. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции и построение ее графика.
Опр.1 Прямая x a называется вертикальной асимптотой графика ф-ии y f (x), если хотя бы один из односторонних пределов lim f (x) или lim f (x) .
x a |
x a |
Опр.2 Прямая y kx b - невертикальная асимптота графика функции y f (x), если (x) f (x) kx b - б.м. функция при x .
Т. Если y kx b - невертикальная асимптота графика ф-ии
y f (x), то |
k lim |
f (x) |
, |
b lim f (x) kx |
(1). |
|
|||||
|
x |
x |
x |
|
Полное исследование функции и построение графика проводится по следующей схеме:
1.Находим ООФ и вертикальные асимптоты.
2.Точки пересечения графика функции с осями координат.
3.Четность, нечетность, периодичность функции.
4-5. Промежутки монотонности, выпуклости, экстремумы и перегибы.
6.Невертикальные асимптоты графика функции.
7.Построение графика.
§15. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.
п.1 00, первое правило Лопиталя . |
|
|
||||||||||
Т.1 Если f (x) и g(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) определены и непрерывны на a,b , |
|
|||||||||||
2) существует предел |
lim |
f (x) lim |
g(x) 0, |
|
||||||||
3) g (x) 0 на a,b , |
x a |
|
|
x a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) существует lim |
|
f (x) |
K, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x a g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда существует lim |
|
f (x) |
K. |
|
|
|
|
|||||
|
|
x a g(x) |
|
|
|
|
|
|||||
п.2 , второе правило Лопиталя |
|
|
||||||||||
Т.2 Если f (x) и g(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) определены и непрерывны на a,b , |
|
|||||||||||
2) существует предел |
lim |
f (x) lim |
g(x) , |
|
||||||||
3) g (x) 0 на a,b , |
x a |
|
|
x a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) существует lim |
|
f (x) |
|
K, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x a g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда существует lim |
|
f (x) |
K. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x a g(x) |
|
|
|
|
|
|||||
п.3 Раскрытие неопределенностей 1 ,0 , 0 |
|
|||||||||||
lim f (x) g(x) |
, y f (x) g(x) |
, |
|
|
|
|
||||||
x a |
|
|
limln y K lim f (x) g(x) |
eK |
||||||||
ln y g(x)ln |
f (x), |
|
||||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
Неопределенности вида , |
0 сводятся к |
|
||||||||||
неопределенностям 0 |
0 |
или |
|
с помощью |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
алгебраических преобразований.
§1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Опр.1 Диф. функция F(x) называется первообразной для ф-ии f (x), если F (x) f (x).
Т.1 1) Если ф-ия F(x) - первообразная для f (x), то ф-ия F(x) C также является первообразной для f (x).
2) Если F(x) и (x) - первообразные для f (x), то разность F(x) (x) C (постоянная)
. 1) F(x) f (x), F(x) C f (x) F(x) C -
-первообразная для f (x),
2)Пусть (x) - первообразная для f (x)
F(x) (x) f (x) f (x) 0 по условию постоянства функции это означает, что F(x) (x) C,F(x) (x) C
.
Опр.2 Множество всех первообразных функции f (x) есть неопределенный интеграл от этой функции.
Обозн: |
|
f (x)dx F(x) X, F '(x) f (x) (1) |
|
|
подынтегральное
выражение
Геометрический смысл неопределенного интеграла:
Свойства неопределенных интегралов : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. d f (x)dx f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. По опр.1 f (x)dx F(x) C, где F (x) |
f (x), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d f (x)dx d F(x) C f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. d F(x) F(x) C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. f1(x) f2 (x) dx f1 (x)dx f2 (x)dx (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (x), |
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. Пусть F1 (x) |
|
|
F2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f1 (x)dx F1(x) C, f2 (x)dx F2 (x) C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F1 (x) F2 (x) - первообразная для |
|
|
f1(x) f2 (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По определению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
f1(x) f2 (x) dx F1(x) F2 (x) C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f1 (x)dx f2 (x)dx F1(x) F2 (x) C C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f1(x) f2 (x) dx f1 (x)dx f2 (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Cf (x)dx C f (x), |
|
C const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(доказывается аналогично свойству 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
§2. Таблица основных интегралов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
x |
n |
dx |
|
|
|
xn 1 |
|
|
|
C,n 1 |
2. |
|
dx |
|
ln |
|
x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3. ax dx |
ax |
|
|
|
C, ex dx ex C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. sin xdx cos x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. cos xdx sin x C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
dx |
|
|
|
tg x C |
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
dx |
|
|
ctg x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
sin2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
C, |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
arcsin x C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
C |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
arctg x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 |
x2 |
|
|
|
|
a |
a |
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
x a |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
a2 |
|
|
2a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
|
|
x2 |
|
a2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
. 1. 1) x 0, ln |
x |
C ln x C |
|
|
|
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) x 0, |
|
ln |
|
x |
|
C |
|
ln( x) C |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
1 |
arctg |
|
|
x |
|
|
C |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
x |
2 |
|
|
a |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
11. 1) x |
|
|
x2 a2 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ln x |
x |
|
|
|
a |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
2 |
|
|
|
2 x |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
a2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) x |
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ln |
|
x |
|
|
|
|
x2 a |
2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
2 x2 a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Т. Если u(x) и v(x) - диф. и существует интеграл vdu,
то существует интеграл |
|
|
udv uv vdu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. По правилу дифференцирования произведения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d u v u dv v du, d u v udv vdu, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u v udv vdu, |
udv u v vdu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рекурентная формула: |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
In |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
du |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
a |
2 |
) |
|
|
(x |
2 |
a |
2 |
) |
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv dx, |
v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
2 |
|
a |
2 |
|
n |
|
x |
2 |
a |
2 |
|
n 1 |
|
x |
2 |
a |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2n |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
2na2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
, In 1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
2 |
|
n |
x |
2 |
|
2 |
|
n 1 |
x |
2 |
|
2 |
|
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
I |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
2na2 x2 a2 n |
|
|
2na2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Т. (о замене переменной)
Если F(x) - первообразная ф-ии f (x) на множестве X и x (t) - дифференцируемая функция, значение которой принадлежит мн-ву X , то ф-ия F( (t)) - первобразная для ф-ии f ( (t)) (t) и интеграл
f ( (t)) (t)dt f (x)dx ,
ф-ия x (t) называется подстановкой.
. Пусть f (x)dx F(x) C. Покажем, что
F( (t)) F ( (t)) (t) f ( (t)) (t),
f ( (t)) (t)dt F( (t)) C F(x) C f (x)dx .
§5 Интегрирование рациональных функций.
п.1 Интегрированиепростейших рациональных функций.
Опр.1 Рациональной функцией называется отношение двух многочленов
f (x) Pm (x) , где Pm (x) - многочлен степени m,
Qn (x)
Pm b0 xm b1xm 1 ... bm 1x bm ,b0 0,
Qn (x) - многочлен степени n с C 1 перед xn ,
Qn (x) xn a1xn 1 ... an 1x an.
Если m n, то f (x) - неправильная рациональная функция, а если m n, то f (x) - неправильная рациональная (дробно-рациональная) функция.
Опр.2 Простейшими рациональными функциями называются |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
правильные рациональные функции следующих видов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I. |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A,a R |
II. |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
m N m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x a |
|
x a |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Bx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
III. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p,q,c R |
, |
|
|
|
4 |
|
|
q 0 |
|
|
IV. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
px |
q |
|
|
|
x2 px q |
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I. |
|
|
|
A |
|
|
dx |
A |
d(x a) |
|
|
Aln |
|
x a |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x a |
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
II. |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
dx |
A |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
A |
d(x a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x a |
m |
x a |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
1 m x |
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
III. Преобразуем x2 |
px q x2 |
|
2 |
|
p |
x |
|
|
p2 |
|
q |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x p 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
q p2 |
|
4 , t x p 2 , a2 q p2 |
4 , x2 px q t2 a2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x t p |
2 |
|
,dx dt |
|
|
|
|
Bx |
|
|
C |
|
|
|
|
dx |
B t p |
2 C |
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
C Bp |
|
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C Bp |
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln t |
|
2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t2 |
a2 |
|
t2 |
a2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C1 |
|
|
|
B |
ln x2 |
|
px q |
|
C Bp |
2 |
arctg |
|
|
|
|
x p |
2 |
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q p |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q p |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
IV. |
|
|
|
|
|
|
Bx |
|
C |
|
|
|
|
|
dx |
|
B t p |
2 C |
|
dt B |
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
c Bp |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
px q |
m |
|
|
|
|
t |
2 |
a |
2 |
|
m |
|
|
t |
2 |
|
|
2 |
|
m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
ln t |
2 |
a |
2 |
C |
Bp |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
0 далее |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t2 |
|
a2 m |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
a2 |
m |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
используем рекурентную формулу и возвращаемся к подстановке. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п.2 Интегрированиеправильных рациональных функций. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) |
Pm (x) |
, |
|
m n, |
|
Qn (x) xn |
a1xn 1 |
... an 1x an , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
- кратности 2 , |
|
1 |
|
1i - кратности s1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a1 - кратности 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это означает, что Qn (x) делится на x2 |
p1x q1 |
s1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2i - кратности s2. Тогда Qn (x) |
делится на x2 |
p2 x q2 |
s2 |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
n, |
|
|
тогда |
x2 p1x q1 |
s1 |
x2 p2 x q2 |
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qn (x) x a1 1 |
|
x a2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т.1 Правильная рациональная функция вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pm (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 p1x q1 |
s1 |
x2 p2 x q2 |
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a1 1 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
A 1 |
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
B 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
x a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
a2 |
2 |
1 |
|
|
x a2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M1x N1 |
|
|
|
|
|
|
... |
M s1 x Ns1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1x L1 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 p1x q1 s1 |
|
|
|
x2 p1x q1 |
x2 p2 x q2 s |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ps2 |
x Ls2 |
|
|
|
, где A ,..., A , B ,..., B |
|
|
|
|
|
,M |
|
,...,M |
|
|
,N |
|
|
,..., N |
,P,...,P , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 p2 x q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
1 |
|
|
|
s2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
L1,...,Ls1 |
- неопределенные коэффициэнты (метод неопределенных |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициентов). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.2 Правильная рациональная функция имеет первообразные, которые выражены через правильные рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.
п.3 Интегрированиенеправильных рациональных функций
f (x) |
Pm (x) |
,m n, f (x) f1(x) |
Rm n (x) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Qn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rm n (x) |
|
|
|
прав. рац. ф-ия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (x)dx f1(x)dx |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qn |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
метод неопр. коэф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
п.4 МетодОстроградского |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (x) |
Pm (x) |
, m n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Qn (x) |
|
|
|
|
|
x2 |
p1x q1 |
s1 |
x2 |
p2 x q2 |
s2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
||||||||||||||||||||||
Qn (x) x a1 1 x a2 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pm (x) |
|
|
|
|
P1 (x) |
|
|
P2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 2 s1 s2 |
n, |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
(1) где |
|
||||||||||||||||||
Qn (x) |
Q1(x) |
|
Q2 |
(x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метод неопр. коэф. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 1 |
x |
|
|
2 1 |
x |
2 |
p1x q1 |
s1 1 |
x |
2 |
p2 x q2 |
|
s2 1 |
||||||||||||||
Q1 (x) x a1 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Q2 (x) |
Qn (x) |
, P1 (x) и P2 (x) - многочлены в степени на 1 меньше |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Q1 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чем Q1 (x) и Q2 (x) соответственно. Продифференцируем формулу (1):
Pm (x) P1 Q1 PQ1 1 .
Qn (x) Q1 (x) 2
§6 Вычисление интегралов вида:
|
|
|
|
|
|
|
ax b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
R |
x, n |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cx d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ax b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax b |
|
|
||||||||||||
R x, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- рациональное выражение от x и |
n |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx d |
|
|
||||
|
|
|
|
|
cx d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Подстановка t n |
ax b |
|
tn |
|
|
, |
ctn x dtn |
ax b, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
cx d |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b dtn |
|
|
|
dn tn 1 ctn a cn tn 1 b dtn |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
, dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ctn a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctn a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ntn 1 d ctn a c b dtn |
ntn 1 bc ad |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctn a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ctn a 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b dtn |
|
n 1 bc ad |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ax b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
R |
x, n |
|
|
|
|
dx n |
|
R |
|
|
|
|
|
,t t |
|
|
|
|
|
|
|
dt. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cx d |
|
|
|
|
|
ct |
a |
|
|
|
ct |
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§7. Интегрирование выражений вида
Rx, ax2 bx c . Подстановка Эйлера.
1.ax2 bx c не имеет действительных корней.
( ) ax2 bx c xa t - 1-ая подстановка Эйлера. ax2 bx c ax2 2xat t2 , x b 2t a t2 c,
|
x |
|
|
|
|
|
t2 |
|
c |
|
, |
|
|
|
dx |
|
|
2t b 2t |
|
a |
t2 c 2 |
a |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b 2t a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2bt 2t2 |
|
|
|
|
2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at2 c a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt, |
|
|
ax |
|
|
|
bx |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b 2t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2t a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
bt |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда R x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
at2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
ax2 bx c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b 2t |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
t2 c |
|
|
|
|
|
|
, |
|
bt |
|
|
at2 c |
|
|
|
a |
|
2bt 2t2 |
|
a |
2c |
a |
|
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2t a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2t |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b 2t a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. ax2 |
bx c a x x1 |
x x2 |
, |
x1,x2 |
- корни. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1 |
2 |
x x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx R x, |
|
|
a |
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ax2 bx c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
R |
x, |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
a x x2 |
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) - 2-ая подстановка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ax2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
xt2 x1t2 ax ax2 , |
x t2 a x1t2 ax2 , x |
x1t |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1t2 |
|
ax2 |
|
x1t2 ax1 |
|
|
|
|
a x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
a |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x1t t2 a 2t x1t2 ax2 |
|
|
|
|
|
|
2ta |
x2 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
R |
x, x x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1t2 ax2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t x2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2a |
|
|
|
a |
|
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
a |
|
dt - рациональное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
выражение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
§8 Вычисление интегралов вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ax2 |
bx c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
Pn 1 (x) |
|
ax |
2 |
bx c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ax |
2 |
|
bx c |
|
|
|
|
ax |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx c |
|||||||||||||||||||||||||||||
- неизвестный коэффициент, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Pn 1 (x) - многочлен степени n 1 |
с неопр. коэффициентами. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дифференцируем формулу, чтобы получить Pn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Pn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn 1 (x) 2ax b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn 1 (x) ax |
2 |
bx c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ax2 bx c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ax2 bx c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ax2 |
bx c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Pn (x) 2Pn 1 (x) ax2 bx c Pn 1(x) 2ax b 2 , xn
xn 1 (n 1) уравнения с (n 1) неизвестными ( )
...
x0
Решение системы уравнений ( ) в (1), в которой последний интеграл - табличный.
§9 Интегрирование тригонометрических функций.
п.1Вычисление cos xcos xdx, |
|
|
sin xsin xdx, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin xcos xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Преобразуем подынтегральные функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos xcos x |
1 |
|
|
cos |
( )x cos ( )x , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin xsin x |
1 |
|
cos |
( )x cos ( )x , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( )x sin ( )x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
sin xcos x |
1 |
|
sin |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
далее вычисления сводятся к табличным интегралам. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п.2 Вычисление sinm xcosn |
|
xdx, m,n Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) m 2k 1 (нечетное), |
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
sinm xcosn |
xdx sin2k |
xsin xcosn |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 cos2 |
x |
|
k |
cosn xsin xdx |
t cos x |
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
tn |
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) n 2k 1 (нечетное), тогда sinm |
xcos2k 1 |
|
|
|
|
|
рац. выражение |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sinm xcos2k |
xcos xdx 1 sin2 |
x k sinm |
xcos xdx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t sin x |
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt cos xdx |
|
tm dt - рац. выражение от t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
m 2k, |
n |
2s (четные), тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
sin2k xcos2s |
|
xdx 12k s |
1 cos2x k 1 2cos2x s |
dx, далее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
см. п.1,2,3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
п.3 Вычисление R sin x,cos x dx.Универсальная |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрическая подстановка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
t tg |
x |
( ), |
x 2arctgt, |
dx |
|
2dt |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
2tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|||||
sin x 2sin |
|
cos |
|
2tg |
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 tg |
2 x |
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos x cos |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
x 1 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
1 t2 |
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R sin x,cos x dx R |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 t |
2 |
1 t |
2 |
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§10. Определение интеграла по Риману. Ограниченность интегрируемой функции.
Пусть f (x) определена на a,b . Разобьем a,b на частичные отрезки с помощью точек деления.
Обозн. разбиения: : a x0 |
x1 ... xk ... xn |
b, |
Длина k-го отрезка xk xk 1 xk , k 0,1,2,..., n 1 , |
||
На каждом отрезке выберем точку Ck xk ,xk 1 , |
тогда |
|
n 1 |
|
|
f (Ck ) xk f (C0 ) x0 |
f (C1) x1 ... f (Cn 1 ) xn 1, |
|
k 0 |
|
|
max xk |
- диаметр разбиения , |
k |
|
Опр. Конечный предел интегральных сумм при 0, не зависящий ни от разбиения отрезка a,b на частичные отрезки, ни от выбора точек Ck , называется определенным интегралом от a до b ф-ии f (x), а сама ф-ия - интегрируемой
на a,b . |
|
b |
|
|
lim |
|
f (x)dx |
(2) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
Утв.1 Если ф-ия f (x) интегрируема на a,b , то она на этом отрезке ограничена.
Утв.2 Если f (x) - неотрицательная и интегрируемая на a,b ,
b
то f (x)dx SaABb (площади криволинейной трапеции,
a
ограниченной сверху графиком f (x), снизу - осью абсцисс, и прямыми x a, x b.
§11. Верхняя и нижняя интегральные суммы и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции по Риману.
Пусть задана f (x), |
x a,b . |
|
||
Разобьем a,b : a x0 |
x1 .. xk ..xn |
b, |
||
Длина k го отрезка xk |
xk 1 xk , |
|
||
Обозначим mk : |
inf f (x), Mk : sup f (x), |
|||
|
xk ,xk 1 |
xk ,xk 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s mk xk |
|
|
|
|
(1) |
k 0 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S Mk x |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
(1) - нижняя и верхняя интегр. суммы Дарбу,
n 1
Ck xk ,xk 1 , ( ) s S, f (Ck ) xk
k 0
Св.1 Если к фиксированному разбиению добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может только увеличиться, а верхняя только уменьшиться.
Св.2 Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней, даже если эти суммы отвечают разным разбиениям. Добавим к новые точки ( 0),
s1,s2 ,...,sn - монотонно возрастает, sn Si , S1,S2 ,...,Sn - монотонно убывает, Sn si ,
I sup sn , I inf Sn , s I I S
Т. (необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману)
Для того чтобы органиченная на a,b ф-ия f (x) была интегрируема на a,b по Риману необходимо и
достаточно: |
|
|
lim s lim S |
b |
f (x)dx |
|
lim S s 0 |
|
|
||||
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
§12. Свойства неопределенного интеграла.
a |
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Св.1 f (x)dx 0 |
Св.2 f (x)dx f (x)dx |
|
||||||||||
a |
b |
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Св.3 f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx |
|
|||||||||||
a |
b |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Св.4 Cf (x)dx C f (x)dx (C - постоянная) |
|
|||||||||||
a |
a |
|
c |
|
|
b |
|
|||||
|
b |
|
|
|
|
|||||||
Св.5 если a c b, то |
f (x)dx |
f (x)dx f (x)dx |
||||||||||
|
a |
|
a |
|
|
c |
|
|||||
(аддитивность определенного интеграла) |
|
|||||||||||
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Св.6 Если f (x) g(x), то f (x)dx |
g(x)dx |
|
||||||||||
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Св.7 Если f (x) - интегрируема на a,b , |
то |
|
f (x) |
|
|
- |
||||||
|
|
|||||||||||
интегрируема на a,b , |
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
f (x)dx |
|
f (x) |
dx |
|
|||||||
Св.8 Если f (x) - интегр. на |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
то |
||
a,b и m f (x) M , |
b
m b a f (x)dx M b a
a
Теорема о среднем для опр. интеграла.
§13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
Пусть f (x) опр. и огран. на a,b . Возьмем xk так, что a x b, на a, x - f (x) интегрируема.
x
(1) F(x) f (x)dx - интеграл с перем. верхний пределом
a
Св.1 Если f (x) интегр. на a,b , то F(x) - непр. на a,b .
. Зафикс. x a,b , дадим x приращение x,
|
|
|
|
x x |
x |
|
F(x) F(x x) F(x) f (x)dx f (x)dx |
||||||
x |
x x |
a |
a |
|||
x |
x x |
|||||
f (x)dx f (x)dx f (x)dx |
f (x)dx, |
|||||
a |
x |
a |
x |
|||
|
|
|
|
|
x x |
|
По усл. m f (x) M |
(св.8), m x |
f (x)dx M x, |
||||
|
|
1 |
|
x x |
x |
|
|
|
|
|
|||
разделим на x: |
|
f (x)dx , m M , |
||||
x |
||||||
x x |
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
f (x)dx x, F(x) x, x 0, F(x) 0 |
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
F(x) - непрер. в точке x . |
|
|||||
Св.2 Если f (x) - непр. на a,b , то F(x) - диф. функция, |
||||||
|
x |
|
|
|||
F (x) f (x), f (x)dx f (x) |
|
|||||
|
a |
|
|
. Фикс. x, даем приращение x, F x, m M , по т. о среднем для непр. ф-ии f (x) сущ. точка
c x,x x , |
такая что f (c) f (x) f (c) x, |
|||
F (x) lim |
F |
|
lim f (c) f (x), |
|
|
x 0 |
x |
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
f (x)dx |
f (x) . |
|||
a |
x |
|
|
|
Сл. Непр. на отрезке ф-ия f (x) всегда имеет |
первообразную, одной из которых является интеграл с переменным верхним пределом.
Т. (Основная формула интегрального исчисления, ф. Ньютона-Лейбница)
b
Если f (x) - непр. на a,b , то f (x)dx (b) (a),
a
где (x) - какая-нибудь первообразная f (x),
b
f (x)dx (b) (a) (x) ba (2)
a
x
. (x) - первообр. f (x), F(x) f (x)dx - первобр. f (x)
x |
a |
b |
(x) f (x)dx C, (a) C, f (x)dx (a),
a |
a |
b |
|
f (x)dx (b) (a) .
a
§14. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Т. Если u(x) и v(x) - диф. на a,b , то
|
b |
|
|
ba |
b |
|
|
|
|
udv uv |
|
vdu |
|
|
|
||
|
|
|||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
§15. Замена переменной в определенном |
||||||||
интеграле. |
|
|
|
- интегр. на a,b |
и x (t) - диф. на , , |
|||
Т. Если f (x) |
||||||||
где ( ) a, |
( ) b, то |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
b |
|
|
|
|
||
|
f (x)dx f (t) (t)dt |
|
|
|||||
|
a |
a |
|
|
|
|
§16. Вычисление площадей в прямоугольной декартовой системе координат.
Рассм. плоскую фигуру ограниченную сверху графиком
ф-ии y f (x) |
- непр. на a,b , а снизу - y g(x) - |
||||||||
непр. на a,b . Разобъем a,b : |
|
|
|||||||
: a x0 x1 |
... xk |
... xn b, |
|
||||||
xk |
xk 1 |
xk |
, k 0,1,..., n 1 , |
max xk , |
|||||
m |
|
min |
f (x), M |
|
|
max f (x), |
m |
k |
|
|
|
min g(x), |
|||||||
|
k |
xk ,xk 1 |
|
k |
|
xk ,xk 1 |
k |
xk ,xk 1 |
Mk max g(x).
xk ,xk 1
Рассм. ступенчатую фигуру F из прямоугольников с осн.xk и высотами hk mk Mk .
n 1 |
n 1 |
n 1 |
F ABCD, S(F) mk Mk xk mk xk Mk xk
sf |
Sg , |
k 0 |
|
|
|
|
|
k 0 |
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рассм. ступенчатую фигуру F1 из прямоугольников с осн. |
||||||||||
xk |
и высотами hk Mk |
mk . |
|
|
|
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(F1 ) x Mk mk Sf |
sg |
|
|
|
||||||
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр.1 Если lim S(F) lim S(F1), то плоская фигура ABCD |
||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
называется квадрируемой, а общее значение этих пределов |
||||||||||
называется площадью фигуры ABCD. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
lim S(F) lim sf |
lim Sg |
|
|
|
f (x)dx |
|
g(x)dx |
|
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
b |
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) g(x) dx ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) f (x) dx ( ) |
|||||
lim S(F1 ) lim Sf |
lim sg |
|
|
|||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Из равенств ( ) и ( ) фигура ABCD - квадрируемая и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
площадь ее в дек. пр. с.к |
|
S f (x) g(x) dx |
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
§17. Вычисление площадей в полярной системе |
||||||||||
координат. |
|
|
|
|
|
x rsin |
||||
Формулы перехода из пол. в дек. с.к. |
||||||||||
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y r cos |
Рассм. плоскую фигуру в пол. с.к. ограниченную 2-мя лучами и графиком непр. на a,b функции r ( 0 ). Разобъем
0 1 ... k |
k 1 |
... n |
. Обозначим: mk |
min |
r( ), |
||||||||||
Mk |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
k , k 1 |
|||||
r( ). Рассмотрим круговые сектора, опирающиеся на |
|||||||||||||||
|
|
|
|
k , k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углы k и ограниченные дугами окружности радиуса mk . |
|
||||||||||||||
Площадь каждого кругового сектора Sсек 1 |
R2d, |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
mk2 |
k |
- нижняя сумма Дарбу для ф-ии |
1 |
2 |
r2 |
( ). |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
2 k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим круговые сектора, опирающиеся на углы k |
и |
||||||||||||||
ограниченные дугами окружности радиуса Mk : |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
Mk2 k |
- верхняя сумма Дарбу для ф-ии |
1 |
2 |
r2 |
( ), |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim s lim |
n 1 |
m2 |
|
|
r2 ( )d , limS 1 |
|
|
r2 |
( )d . |
||||||
1 |
k |
1 |
2 |
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
2 |
k |
2 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
S12 r2 ( )d (1) - ф. для вычисления площади в пол. с.к
0
§18. Объем тела вращения.
Рассм. тело V, обладающее следующими свойствами:
1)расположено по одну сторону от плоскости
2)в сечении тела плоскостями, параллельными пл-ти, лежат квадрируемые фигуры.
3)площадь сечения, проведенного на расстояние x от пл-ти , пл-тью парал. - непр. ф-ия S(x).
4)Если S(x2 ) S(x1), то проекция фигуры с площадью S(x2 ) на пл-ть содержит проекцию фигуры с с площадью S(x1) на пл-ть .
Опр.1 Пространственное тело, обладающее св-ми 1-4 называется регулярным.
Т.1 Регулярное тело кубируемое и объем го вычисляется
b
по формуле V S(x)dx, где S(x) - площадь сечения,
a
проведенного на расстоянии x от пл-ти ,
a- наименьшее расстояние от тела до пл-ти ,
b- наибольшее расстояние от тела до пл-ти .
Т.2 Если тело V получено вращением криволинейной трапеции ограниченной сверху графиком ф-ии y f (x), f (x) 0, а снизу отрезком a,b вокруг оси Ox , то его
b
объем V f (x) 2 dx (2)
a
. Покажем, что тело V - регулярное.
x a,b , S(x) r2 f (x) 2 непр. ф-ия от x,
Все условия (1-4) выполнены V- регулярное тело,
Тогда по ф.(1): y f (x), f (x) 0, a x b,
b
V f (x) 2 dx .
a
Сл. Если криволинейная трапеция вращается вокруг Oy , то объем полученного тела вычисляется по формуле:
b
V 2 x f (x)dx (3)
a