3. Введение в теорию графов

   1. История и применение

Начало теории графов как математической дисциплины было положено Эйлером в его знаменитом рассуждении о кенигсбергских мостах (1736 г.) Однако, она не находила применения в течение почти 100 лет. Интерес к теории возник благодаря исследованиям электрических сетей, моделей кристаллов и структур молекул. В 1847 г. Кирхгофом была разработана теория деревьев, которая послужила важным аналитическим средством для исследования электрических цепей. Законы Кирхгофа для напряжений и токов в цепи полностью определяются контурами и сечениями графа этой цепи и не зависят от природы используемых элементов. Поэтому тщательное изучение понятий контура, сечения и дерева графа дало толчок многим открытиям в теории цепей и, кроме того, внесло большой вклад в теорию графов.

Характерно то, что в терминах графов формулируются многие понятия и задачи прикладных областей: теории игр и программирования, теории передачи сообщений, транспортных сетей, электрических цепей, организационной структуры общества, а также биологии и психологии. В области вычислительной техники теория графов занимает особое место. Она предоставляет большие возможности для построения эффективных алгоритмов и анализа их сложности, дает готовые решения многим задачам вычислительной техники, например, для задачи оптимизации компиляторов. В то же время исследования в каждой из прикладных областей приводят к развитию самой теории графов.

2. Основные определения теории графов

Граф – математический объект, описываемый двумя множествами: G=( V, E ), где V – так называемое множество вершин, а E – множество дуг.

Элементами множества дуг являются упорядоченные пары вершин, т.е. E={ ( a, b): aV, bV }, т.о. множество Е является подмножеством декартова произведения VV. Порядок вершин в парах может и не учитываться, тогда элементы множества Е называют ребрами, а сам граф – неориентированным графом, в противном случае – ориентированным или Орграфом. В некоторых случаях рассматриваются так называемые смешанные графы, в них множество Е состоит из элементов обоих видов: дуг и ребер.

Обозначим вершины v₁, v₂, v₃, , а ребра e₁, e₂, e₃, . Вершины v_i и v_j, определяющие ребро e_k, называются концевыми вершинами ребра e_k=(v_i, v_j), а в случае орграфа – началом и концом дуги e_k соответственно. Говорят также, что ребро e_k (дуга) инцидентно вершинам v_i, v_j или, что вершины v_i, v_j инцидентны ребру (дуге) e_k. Такие вершины называют смежными. Ребра называют смежными в случае, когда они имеют общую концевую вершину. Например, e_k=(v_i, v_j) и e_m=(v_i, v_l) – смежные ребра.

В множестве ребер графа допускается более, чем одно ребро с одинаковыми концевыми вершинами. Такие ребра называются параллельными или кратными. Например: e_k=(v_i, v_j) и e_m=(v_i, v_j) – кратные ребра.

Если обе концевые вершины ребра совпадают, то такое ребро называется петлей. Например: e_k=(v_i, v_i) – петля.

Граф без петель и параллельных ребер называется простым, в противном случае – мультиграфом.

Граф, не имеющий ребер, называется пустым, а не имеющий вершин (а значит и ребер) – нуль‑графом.

Простой граф, у которого любая пара вершин смежна, называется полным.

Количество вершин в графе называется порядком графа.

Степенью или валентностью вершины называется число инцидентных ей ребер. Будем обозначать степень вершины v_i – deg(v_i). Вершина нулевой степени называется изолированной. Вершина степени 1 называется висячей, а ребро, инцидентное ей, называется висячим ребром. Заметим, что петля добавляет двойку к степени вершины.