Математическое моделирование и численные методы

Методические указания

Раздел 1. Введение.

Методические указания по курсу «Математическое моделирование и численные методы» включает тематику курса лекций, практических и лабораторных занятий, контрольных работ; содержит список вопросов выносимых на самостоятельное изучение, а так же темы, которые могут быть изучены в рамках вычислительного практикума и выполнены как курсовые работы. Предлагаются возможные формы отчета по выполняемым лабораторным и домашним контрольным работам, вычислительного практикума.

Дается перечень основной и дополнительной литературы.

Цель курса: ознакомление с различными методами численного решения классических модельных задач прикладной математики и математической физики, с оценками погрешностей вычисления результатов. Построение математической модели, сведение поставленной задачи к модельной задаче с известными методами решения, реализация алгоритма решения на языке программирования, проведение численного эксперимента является необходимым для широкого круга специалистов, в том числе и учителям математики, физики, информатики.

Задачи курса.

– студент должен изучить:

• основные проблемы и задачи прикладной математики, математического моделирования и численных методов;

• этапы математического моделирования и численного решения задачи на ЭВМ;

• вопросы применимости численных методов к поставленным задачам (теорема существования и единственности решения, устойчивость решения к малым возмущениям, корректность и некорректность постановки задачи);

• методы численного решения основных модельных задач прикладной математики и математической физики;

• способы оценки погрешности метода и численного решения в соответствии с правилами теории погрешностей;

• вопросы построения численного алгоритма и его программная реализация на ЭВМ;

• правила проведения численного эксперимента и проверки адекватности полученного численного результата с изучаемым явлением;

Темы данного лекционного курса

Введение. Математические модели и численные методы. Решение задач с использованием ЭВМ. Приближенное решение, причины возникновения погрешностей и их классификация. Проблема нахождения приближенного решения, устойчивость и корректность.

Глава 1. Элементы теории погрешностей.

Тема 1.1. Абсолютная и относительная погрешности. Значащая цифра, число верные знаков.

Тема 1.2. Округление чисел. Правило округления по дополнению. Связь относительной погрешности и числа верных знаков.

Тема 1.3. Погрешность суммы, разности, произведения и частного. Общая формула для погрешности.

Тема 1.4. Определение относительных погрешностей степени, корня, предельных абсолютных погрешностей элементарных функций.

Глава 2. Приближенное решение нелинейных уравнений.

Тема 2.1. Методы приближенного решения нелинейных уравнений. Методы отделения изолированных корней уравнения, оценка погрешности.

Тема 2.2. Метод половинного деления, хорд, метод касательных, комбинированный метод. Оценка погрешности приближения.

Тема 2.3. Метод итерации. Графическая интерпретация метода итерации. Теорема о сходимости итерационного процесса. Оценка погрешности решения. Алгоритм численного решения нелинейных уравнений.

Глава 3. Решение систем линейных уравнений.

Тема 3.1. Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Метод квадратного корня, метод Халецкого.

Тема 3.2. Метод итерации. Теорема о сходимости итерационного процесса. Метод Зейделя. Оценка погрешности приближения.

Тема 3.3. Метод итерации.

Глава 4. Приближение функций.

Тема 4.1. Приближение функции. Метод наименьших квадратов.

Тема 4.2. Приближение функции. Сплайны. Кубические сплайны.

Глава 5. Интерполирование функций.

Тема 5.1. Интерполирование функций. Постановка задачи. Конечные разности. Центральные разности.

Тема 5.2. Интерполяционные формулы Ньютона. Оценка погрешности.

Тема 5.3. Интерполяционная формула Лагранжа. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

Тема 5.4. Обратное интерполирование.

Глава 6. Приближенное дифференцирование.

Тема 6.1. Приближенное дифференцирование. Постановка задачи. Методы приближенного дифференцирования.

Глава 7. Приближенное интегрирование.

Тема 7.1. Приближенное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Тема 7.2. Формулы трапеции и Симпсона. Остаточный член.

Тема 7.3. Метод Монте-Карло. Оценка погрешности.

Глава 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 8.1. Постановка задачи. Задача Коши. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара.

Тема 8.2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера, модификации этого метода. Оценка погрешности приближенного решения.

Тема 8.3. Семейство методов Рунге-Кутта. Оценка погрешности метода на шаге. Порядок метода. Классические варианты метода Рунге-Кутта.

Тема 8.4. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи. Задача Коши. Приближенное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.

Глава 9. Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 9.1. Постановка задачи. Сведение граничных задач к задачам Коши.

Тема 9.2. Метод Галеркина и метод моментов.

Тема 9.3. Сетки и сеточные функции. Разностные уравнения.

Тема 9.4. Метод сеток решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прогонки.

Глава 10. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.

Тема 10.1. Основные понятия разностных схем. Построение разностной схемы. Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением. Сходимость и устойчивость разностных схем.

Тема 10.2. Консервативные разностные схемы. Методы построения разностных схем.

Тема 10.3. Численное решение дифференциальных уравнений эллиптического типа. Метод сеток решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Тема 10.4. Численное решение дифференциальных уравнений параболического типа. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Тема 10.5. Численное решение дифференциальных уравнений гиперболического типа. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа.