Свойства равномерно сходящихся рядов

Равномерно сходящиеся ряды от непрерывных функций комплексного переменного на множестве обладают свойствами конечных сумм:

1) сумма ряда является непрерывной функцией на множестве ;

2) ряд можно почленно интегрировать;

3) ряд, составленный из аналитических функций можно почленно дифференцировать.

Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости)

Если ряд на некотором множестве мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами , то он сходится на области равномерно.

Ряд вида

= , (24)

где  − комплексная переменная;  − комплексные числа, является степенным рядом в комплексной области.

При степенной ряд принимает вид

= . (25)

для исследования сходимости степенных и функциональных рядов остаются справедливыми основные положения, известные из действительного анализа.

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он абсолютно сходится в круге .

Если ряд расходится в точке , то он расходится и при любом значении , для которого .

Число называют радиусом сходимости степенного ряда , область − кругом сходимости ряда. Для степенного ряда областью сходимости будет круг .

Радиус сходимости находят по уже известным из действительного анализа формулам:

(26)

или (27)

Для рядов вида радиус сходимости находят по тем же формулам, но для .

Исследование сходимости ряда можно также провести, применяя непосредственно признаки сходимости.

Границу области сходимости необходимо исследовать дополнительно. На границе круга сходимости могут лежать как точки сходимости, так и точки расходимости степенного ряда.

Задача 18.  Найти область сходимости ряда .

Решение

Исследуют ряд непосредственно по признаку Даламбера:

, где .

.

Получают, что при область сходимости вырождается в точку.

При ряд расходится.

Задача 19. Найти радиус сходимости ряда .

Решение

Находят значение радиуса сходимости по формуле (26), учитывая, что

.

Ряд сходится в круге

Задача 20. Найти круг сходимости степенного ряда .

Решение

Находят значение по формуле (27):

.

Ряд сходится, если .

На границе получают ряд , который расходится, так как не выполняется необходимый признак. Окончательно получают, что область сходимости – круг

Задача 21. Исследовать   ряд   на   абсолютную   и равномерную сходимость.

Решение

Находят значение радиуса сходимости по формуле (26):

.

Ряд сходится в круге . На границе круга получают ряд

,

который  не  является знакоположительным.

Для исходного ряда составляют ряд из модулей его членов:

.

Полученный ряд сходится.

Следовательно, и исходный ряд сходится в замкнутом круге , причем абсолютно.

Так как в этом круге исходный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, то по признаку Вейерштрасса сходимость в этом замкнутом круге будет равномерная.

Задача 22. Исследовать сходимость степенного ряда .

Решение

Находят значение радиуса сходимости по формуле (26):

.

Область сходимости данного ряда − круг с центром в точке и радиусом , т.е. вся комплексная плоскость.

Задача 23. Исследовать на равномерную сходимость ряд .

Решение

Для равномерной сходимости исходный ряд должен мажорироваться сходящимся числовым рядом .

Полученный числовой ряд сходится при условии или

, . Следовательно, исходный ряд равномерно сходится в области .

Задача 24. Найти сумму ряда

а); б) .

Решение

а) Данный ряд имеет вид и сходится при , в круге .

Последовательность частичных сумм

находят по формуле суммы членов геометрической прогрессии

.

При для членов бесконечной убывающей прогрессии получают сумму ряда =.

б) Для решения этой задачи используют свойство дифференцирования ряда . При дифференцировании получают

или .

Окончательно находят . сумма ряда будет при .