Определение перемещений

Абсолютное удлинение стержня ∆ℓ равно

, при N=const, EA= const. ( 8 )

Формула (8) носит название закон Гука в развернутой форме, где ЕА −жесткость поперечного сечения при растяжении − сжатии.

В случае если N≠const, EA≠ const, то формула для определения удлинения стержня имеет вид

. ( 9 )

Если брус имеет несколько участков, то удлинение стержня определяется как алгебраическая сумма удлинений все его участков

. ( 10 )

Приложение 4

Геометрические характеристики плоских сечений

Площадь сечения равна сумме элементарных площадок, ограниченных замкнутым контуром сечения.

− площадь сечения, [м²].

Статическим моментом площади сечения относительно, какой либо оси называется сумма произведений элементарных площадок на их расстояние до соответствующей оси

S_z , S_y – статические моменты площади сечения относительно осей z и y могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

² = y² + z ².

Центральными осями называются оси, относительно которых статические моменты равны нулю − эти оси проходят через центр тяжести сечения.

Определение координат центра тяжести:

Осевыми моментами инерции сечения относительно, какой либо оси называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до соответствующей оси. I_z , I_y – осевые моменты инерции сечения относительно осей z и y:

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей называется сумма произведений элементарных

площадок на их расстояния до соответствующих осей. I_zy – центробежный момент инерции сечения относительно осей z и y:

Главными осями называются оси, относительно которых центробежный момент равен нулю.

Полярным моментам инерции сечения относительно точки (полюса) называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до данной точки. I_p– полярный момент инерции сечения относительно полюса О.

Так как ρ²= y²+z² , то между полярным и осевыми моментами инерции существует связь:

.

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.

Формулы для моментов инерции сечения относительно параллельных осей, одна из которых центральная

Пусть y, z – центральные оси; а, b – расстояние между параллельными осями, тогда моменты инерции относительно параллельных осей равны:

,

где I_y , I_z − моменты инерции относительно центральных осей, а , − моменты инерции относительно параллельных осей.

Формулы преобразований моментов инерции при повороте осей

;

;

.

Сумма моментов инерции относительно пары взаимно перпендикулярных при их повороте остается постоянной:

.

Определение положения главных осей:

− 45º ≤ α₀ ≤ 45º .

Положительный угол ₀ отсчитывается от положительного направления центральной оси z против часовой стрелки.

Главные моменты инерции вычисляют по формуле:

.

Если I_z > I_y, то под углом ₀ имеем ось, относительно которой момент инерции имеет максимальное значение I_max.

Если I_y > I_z, то под углом ₀ имеем ось, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение I_min.

Приложение 5

Кручение

Кручение – это такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты, а все остальные внутренние усилия равны нулю.

Стержень, работающий на кручение, называется валом.

Крутящий момент в сечении вала численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно оси вала.