Теорема Пуассона.

В условиях схемы Бернулли, т.е. при проведении n независимых испытаний с двумя исходами, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p (0 < p < 1), а вероятность появления противоположного события А равна q = 1 – p, для (вероятности того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз) имеет место приближенное равенство

, (6.7)

где .

Пример 6.8. Известно, что в партии, состоящей из 5000 деталей, вероятность брака равна 0,0004. Вычислим вероятности следующих событий: а) в партии ровно 3 бракованных детали; б) бракованных деталей в партии не более трех; в) бракованных деталей больше трех.

а). Ясно, что мы находимся в условиях схемы Бернулли, причем , , . Поскольку n достаточно велико, а p близко к 0, , то для вычисления искомой вероятности нужно воспользоваться формулой (6.7).

.

б). Бракованных деталей в партии не более трех, если их 0 или 1 или 2 или 3, следовательно,

.

в). Заметим, что события б) и в) в данной задаче противоположны, поэтому

.

Замечание. Если в условиях схемы Бернулли n достаточно велико, а p близко к 1, то q = 1 – p близко к 0, и теорему Пуассона можно применять к событию А (именно это событие будет происходить редко).