6. Независимые повторные испытания. Схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра - Лапласа. Теорема Пуассона.

В настоящей главе мы изучим основные закономерности, относящиеся к одной из важнейших схем теории вероятностей – схеме последовательных независимых испытаний с двумя исходами. Подробное исследование таких испытаний имеет большое теоретическое и практическое значение.

Пусть многократно проводится некоторый эксперимент, в результате которого может произойти только событие А или противоположное ему событие А, причем вероятность появления события А в каждом эксперименте не зависит от результатов предыдущих испытаний и равна p (0 <p< 1). Тогда вероятность появления в каждом эксперименте противоположного события , очевидно, равна q = 1-p. Такая схема проведения испытаний была впервые изучена Я. Бернулли и поэтому называется схемой Бернулли.

Допустим, что эксперимент проведен n раз. Вычислим вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит ровно m раз (а остальные (n–m) раз наступит событие . Сначала выберем m испытаний из проведенных n и зафиксируем их номера. Вероятность того, что при этих m испытаниях произошло событие А, а в остальных (n–m) испытаниях - событие , согласно теореме умножения для независимых испытаний, равна .

Согласно теореме сложения вероятностей, искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способов выбора m испытаний из n. Но число способов выбрать m испытаний из n, как известно из комбинаторики, равно . Следовательно,

=. (6.1)

Пример 6.1. Подбрасываем монету 10 раз. Найдем вероятность двукратного появления герба.

В нашем случае , , , . Согласно формуле (6.1) .

Из формулы (6.1) легко заметить, что , и т.д. Кроме того, вероятность появления события А в n испытаниях хотя бы один раз равна

.

Вероятность того, что событие А при проведении независимых испытаний в условиях схемы Бернулли наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, обозначается и вычисляется по формуле

.

Пример 6.2. Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 0,8. Допустим, что он стреляет по цели 6 раз. Найдем вероятность того, что стрелок попал в цель не менее четырех раз.

По условию задачи , , . Искомая вероятность равна . Применяя три раза формулу (6.1), находим , , . Поэтому .

Поскольку в n испытаниях событие А может произойти 0 раз или 1 раз или 2 раза … или n раз, причем перечисленные случаи включают в себя все возможности и несовместны между собой, то очевидно, что

.

Последнее соотношение может быть также получено с использованием формулы бинома Ньютона. Легко заметить, что вероятность равна коэффициенту при x^m в разложении бинома по степеням x. В силу этого свойства совокупность вероятностей называют биномиальным законом распределения вероятностей.

Отметим одно важное свойство биномиального распределения.

При фиксированном значении n вероятность с увеличением m сначала возрастает, затем достигает своего максимального значения и при дальнейшем росте m убывает.

Докажем это свойство. Из формулы (6.1) легко получить соотношение .

Тогда , если , т.е. если . , если , и , если .

Значение m₀ , при котором вероятность принимает наибольшее значение, называется вероятнейшим (или наиболее вероятным) значением. Как следует из предыдущих оценок, вероятнейшее значение удовлетворяет неравенству

.

Учитывая, что q = 1 - p, последнее неравенство можно переписать в виде

. (6.2)

Если является целым числом, то наиболее вероятных значений два: и .

Пример 6.3. В условиях примера 6.2 найдем вероятнейшее значение числа попаданий стрелка.

В этом примере , , . Поэтому в силу неравенства (6.2), . Это означает, что при данных условиях наиболее вероятное число попаданий равно пяти.

Пример 6.4. Пусть стрелок стреляет по цели 50 раз, а вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 1/3. Вычислим наиболее вероятное число попаданий.

Применяя формулу (6.2), имеем . Значит, вероятнейших значений два. Вероятнее всего, что в данных условиях стрелок попадет в цель 16 или 17 раз.

В условиях схемы Бернулли вычисления вероятности по формуле (6.1) удобны только при достаточно маленьких значениях m и n. При больших значениях m и n вычисление представляет значительные трудности, главным образом, из-за сложности подсчета факториалов в формуле числа сочетаний. Поэтому возникает необходимость в приближенных формулах, позволяющих с достаточной степенью точности определять эти вероятности. Впервые формула такого рода была найдена Муавром в 1730 году для частного случая схемы Бернулли при , а затем обобщена Лапласом на случай произвольного p, отличного от 0 и 1. Эта формула получила название локальной теоремы Муавра - Лапласа.