Глава 2. Основы теории вероятностей.

Мы часто произносим фразы типа «вероятнее всего, это случится», «это невозможно», «наверняка, это произойдет» и т.д. Тем самым мы выражаем свою степень уверенности в том, что некое событие, исход которого не может быть однозначно предсказан заранее, произойдет или нет. Такие события принято называть случайными.

На первый взгляд, случайные события не могут быть предметом научного изучения, поскольку наука изучает те или иные закономерности, а случайность по сути своей есть нечто, идущее вразрез с закономерным развитием событий. Однако это не совсем так. Например, подбросив монетку, мы, разумеется, не сможем однозначно предсказать, упадет она орлом или решкой; но если монетку подбрасывать многократно, то вполне естественно ожидать, что количество выпадений орла и решки будет примерно равным. Таким образом, хотя каждое отдельное событие случайно, при многократном повторении опыта в одних и тех же условиях результаты опыта могут приобрести закономерный характер. Отдельные «случайности» складываются в общую «закономерность». Изучением таких закономерностей занимается теория вероятностей.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений и событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.

Подчеркнем, что теория вероятностей имеет дело не с любыми случайными событиями или явлениями, а лишь с теми, которые могут быть многократно воспроизведены при одном и том же комплексе исходных условий (подбрасывание монетки или игральной кости, попадание или промах при серийной стрельбе, появление бракованной детали на конвейерном производстве и т.д.).

Закономерности, присущие случайным событиям или явлениям, принято называть вероятностными или стохастическими. Они позволяют предсказывать будущее состояние изучаемой системы не однозначно, а лишь с некоторой вероятностью, являющейся объективной мерой возможности реализации случайного события.

Стохастические законы играют исключительно важную роль в различных областях естествознания, в экономике, в военном деле, в климатологии и т.д. Например, изменения климата, кратковременные изменения погоды нельзя точно прогнозировать, их можно предсказать лишь с некоторой вероятностью.

Вероятность некоторого события – это числовая характеристика степени возможности осуществления данного события.

Приведем простой пример. Пусть про некоторого стрелка известно, что он, делая 100 выстрелов по цели, попадает в среднем 95 раз. Мы не можем предсказать точно, попадет ли стрелок в цель при каждом конкретном выстреле, его попадание или промах является случайным событием. Но мы можем утверждать, что он попадет с вероятностью 95%.

Возникновение теории вероятностей принято относить ко времени появления азартных игр, хотя формированию этой теории способствовали также выяснение средней продолжительности жизни, подсчет населения, поиск закономерностей, которым подчиняются случайные события.

В 1494 году итальянский математик Л. Пачиоли (1445-1514) опубликовал труд по математике, в котором разбирал следующую задачу.

Два игрока договорились играть в кости до момента, когда одному из них удастся выиграть m партий. Но игра была прервана после того, как первый выиграл a (a<m), а второй – b (b<m) партий. Как справедливо разделить ставку?

Пачиоли верного решения не нашел. Он предлагал разделить ставку в отношении a:b, не учитывая числа партий, которые еще надо выиграть, чтобы получить всю ставку. Спустя почти 50 лет другой итальянский математик Д. Кардано (1501-1576) подверг рассуждения Пачиоли критике, но и сам предложил ошибочное решение. Через 100 с лишним лет в 1654 году задача была, наконец, решена в ходе переписки между двумя выдающимися французскими математиками Б. Паскалем (163-1662) и П. Ферма (1601-1665).

Приведем решение Паскаля в случае m=3, a=2, b=1, т.е. предположим, что игроки договорились играть до трех выигрышей, но игра была прервана, когда игрок А выиграл две партии, а игрок В – одну. Как разделить ставку? Если бы игроки сыграли еще одну партию, то решение было бы очевидно: при выигрыше А ему досталась бы вся ставка (т.к. он выиграл уже три партии), при выигрыше В справедливо было бы разделить всю ставку пополам (т.к. у каждого по две выигранных партии). Возможности у этих исходов одинаковы.

Таким образом, А может получить всю ставку или ее половину, в среднем (1+1/2):2=3/4 ставки; В может ничего не выиграть или выиграть половину ставки, т.е. в среднем (0+1/2):2=1/4 ставки. Поэтому ставка должна быть разделена в отношении 3:1 (а не 2:1, как предлагал Пачиоли).

В 1718 году в Лондоне вышла книга французского математика А.Муавра (1667-1754) под названием «Учение о случаях». Самым большим ее достижением является открытие закономерностей, которые часто наблюдаются в случайных явлениях. Муавр первым заметил и теоретически обосновал закон «нормального распределения». По этому закону распределяется множество случайных событий физической и биологической природы. Мы рассмотрим этот закон ниже.

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П. Лапласом (1749-1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей». В предисловии он писал: «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… По большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей». Определение вероятности, которое мы называем теперь классическим, принадлежит Лапласу.

В 1846 году вышел в свет первый русский учебник по теории вероятностей – книга В.Я. Буняковского (1804–1889) «Основания математической теории вероятностей».

Среди тех, кто внес большой вклад в развитие теории вероятностей, следует назвать русского математика П.Л. Чебышева (1821–1894), его учеников А.А. Маркова (1856–1922) и А.М. Ляпунова (1857–1918), советских математиков Е.Е. Слуцкого (1880–1948), С.Н. Бернштейна (1880 –1968), А.Я. Хинчина (1894–1959), академика А.Н. Колмогорова (1903 - 1987).

В последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из самых быстро развивающихся математических дисциплин. Ее результаты и методы широко применяются во всех отраслях естествознания и техники.

Теория вероятностей является строгой математической наукой. Ее положения и теоремы вытекают из первоначально заданной системы аксиом. Мы познакомимся с аксиоматическим построением данной теории в третьем параграфе настоящей главы. Но сначала рассмотрим интуитивный подход к основным понятиям теории вероятностей.