7. Понятия о законе нормального распределения случайных ошибок измерений

Свойства случайных оштбок проявляются во всех значительных рядах измерений, и частота появления случайных ошибок зависит от их величины. Гауссом дано математическое выражение этой зависимости, называемое законом нормального распределения случайных ошибок или законом Гаусса. Математически плотность распределения ошибок φ(∆) выражается формулой:

  , (16)

  – мера точности; m – средняя квадратическая ошибка; ∆ – случайная ошибка; е –основание натуральных 

логарифмов.  

Графически эта закономерность распределения случайных ошибок, устанавливающая связь между возможными значениями случайных ошибок и вероятностью их появления, выражается кривой Гаусса. Откладывая по оси абсцисс (горизонтальной оси) значения случайных ошибок, а по оси ординат их вероятности, получаем кривую распределения (рис. 1). Для нахождения вероятностей ряд ошибок делится на интервалы, содержащие количество ошибок k, приходящихся на каждый интервал. Отношение числа k к общему числу ошибок n называется частотой или статической вероятностью Р, соответствующей данному интервалу .  

Построим кривую с интервалами через 1.  

   

 Рис. 1. Кривая ошибок  

При достаточно малом числе измерений распределение ошибок будет лишь приближенно соответствовать нормальному закону и кривая Гаусса в этом случае будет несколько деформированной, что проявится в появлении смещения центра группирования ошибок относительно оси ординат, однако общий вид кривой остается неизменным, так же, как и свойства случайных ошибок.  

8. Правила вычислений приближенных чисел и их округления

В геодезических измерениях и последующих вычислениях приходится иметь дело в основном с приближенными числами. Действительно, верными, значащими цифрами являются лишь те, которые соответствуют точности измерений. Например, при измерении линий нитяным дальномером точность измерений составляет 1 м, и если записан результат 178,35 м, то верными будут только три первых числа (178 м), а последние две цифры после запятой (35) не вызывают доверия. 

  см или ;   .

 Как видно из полученных результатов, необходимая точность получения превышения достигается теодолитом 2Т-30 с использованием нитяного дальномера или кипрегелем.

Задача для самостоятельного решения студентами по вариантам.

Площадь прямоугольника со сторонами а = 200 м, b = 160 м, требуется определить со средней квадратической ошибкой m, не превышающей 4 м². Следует рассчитать, с какой точностью необходимо измерять стороны прямоугольника, чтобы обеспечить заданную точность определения площади.

S = a b, или, применив принцип равных влияний, получим:

;

 

  м.

 Из полученных результатов можно сделать вывод о том, что для обеспечения точности определения площади с m_S = 4 м² необходимо измерять длины линий с точностью ≈ ±3 см.

Для решения задачи самостоятельно каждый студент прибавляет к длинам а и b номер своего варианта, соответствующий порядковому номеру в журнале группы.