Лабораторная работа №6. Изучение адиабатно – изохорного - изотермического цикла. Определение отношения изобарной и изохорной теплоёмкости газа.

Цель работы: Исследовать адиабатно – изохорно - изотермический цикл; измерить показатель адиабаты для газа.

Приборы и принадлежности: закрытый стеклянный баллон; жидкостный манометр; ручной насос.

Краткая теория

В классической статистической физике доказывается теорема Больцмана: если статистическая система находится в состоянии теплового равновесия при температуре Т, то средняя кинетическая энергия молекул равномерно распределена между степенями свободы и для каждой степени свободы равна .

Под числом степеней свободы подразумевается число независимых координат, которое нужно ввести для определения положения тела в пространстве.

Положение одноатомной молекулы в декартовой системе координат полностью определяется тремя координатами Х, У, Z, то есть такая молекула имеет три поступательные степени свободы.

Жесткую двухатомную молекулу представим в виде гантели, центр тяжести которой совпадает с началом координат. Благодаря химической связи между атомами молекула может двигаться поступательно как целое в трех взаимно перпендикулярных направлениях X, Y, Z, то есть имеет три поступательные степени свободы. Кроме того, молекула вращается вокруг этих же осей, причем вращение вокруг оси Х не изменяет положения системы в пространстве. Поэтому для определения положения двухатомной молекулы в пространстве необходимо, кроме трех поступательных степеней задать еще две вращательных (угол поворота вокруг оси У и угол поворота вокруг оси Z).

Трехатомная нелинейная молекула, а также любая многоатомная молекула имеет шесть степеней свободы: три - поступательные и три - вращательные.

При температуре порядка 10³К атомы в молекуле приходят в колебательное движение, и необходимо учитывать колебательные степени свободы. Таким образом, общее число степеней свободы молекул (без учёта электронных) , где N – число атомов в молекуле. Каждый атом в молекулу «приносит» 3 степени свободы.

Нетрудно определить, что двухатомная молекула может иметь одну колебательную степень свободы, трехатомная – три, четырехатомная – шесть. Для определения числа колебательных степеней свободы молекул удобно пользоваться следующим правилом:

i_кол = 3N – 6,

где N - число атомов в молекуле. Для двухатомной молекулы надо вычитать не шесть, а пять.

Закон равнораспределения энергии распространяется и на вращательные степени свободы. На каждую вращательную степень свободы также приходится энергия, равная .

Если амплитуды колебаний малы по сравнению с расстоянием между атомами, то колебания можно считать гармоническими. На каждую колебательную степень свободы приходится энергия, равная (в виде кинетической и в виде потенциальной энергии).

Таким образом, среднее значение энергии молекулы равно , внутренняя энергия одного моля газа

((1)

где i - число степеней свободы молекулы.

Из этого выражения видно, что внутренняя энергия одного моля идеального газа определяется числом степеней свободы молекул и температурой газа и не зависит от его объема. Внутренняя энергия системы является одной из функций её состояния.

Согласно первого начала (закона) термодинамики увеличить внутреннюю энергию системы можно за счет сообщенного ей некоторого количества теплоты , или за счет работы внешних сил :

(знак «-» перед означает, что работа совершается не самой системой, а внешними силами)

Теплоемкостью тела называют величину, равную количеству теплоты, которую нужно сообщить телу (отнять от тела), чтобы изменить его температуру на 1 К (1°С):

(2)

Теплоемкость единицы массы вещества называют удельной теплоемкостью (с), теплоемкость одного моля вещества – молярной теплоемкостью (Сm). Соотношение между молярной и удельной теплоемкостями определяется выражением: , где М – молярная масса.

Найдем теплоемкости газа при различных способах его нагревания. Наибольший интерес представляют случаи, когда нагревание происходит при постоянном объеме и постоянном давлении.

1. V = const (изохорный процесс). В этом случае

.

Изохорная теплоемкость равна:

.

((3)

2. р = const (изобарный процесс). .

Из уравнения состояния идеального газа . Тогда изобарная теплоемкость

. (4)

Здесь , то есть универсальная газовая постоянная равна работе, совершаемой при изобарном нагревании одного моля газа на один Кельвин. Поделив на , получим:

; (5)

- называют показателем адиабаты (показателем Пуассона).

Определяя экспериментально отношение для различных химических соединений, можно установить число степеней свободы, а, следовательно, и структуру молекул.

Согласно классической теории значение теплоемкости не должно зависеть от температуры. В действительности это оказывается справедливым только для отдельных температурных интервалов, причем в разных интервалах теплоемкость имеет разные значения.

В настоящей работе отношение определяется методом адиабатного расширения. При адиабатном процессе газ совершает работу против внешних сил за счет уменьшения внутренней энергии (за счет снижения температуры):

.

((6)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа, исключим переменную :

;

, то есть

.

Если дифференциал от некоторого выражения равен нулю, то под знаком дифференциала стоит постоянная величина. Следовательно,

.

Учтем, что . Получим

.

((7)

Выражение (7) называется уравнением Пуассона.