4.2. Некоторые применения понятия современной ценности денег

Рассмотрим ситуацию, когда банк выплачивает на вложенные в него деньги определённый процент через равные проме­жутки времени. Пусть делается несколько вкладов Sj,..., Snи несколько изъятий R1;...., R*, определённых сумм в известные моменты времени являющиеся концами периодов начисления процентов Суммарная современная ценность всех вкладов равна суммарной современной ценности всех изъя­тий и остатка W на счету после всех указанных операций. То и, если Ft(A) обозначает приведённую к моменту tстоимостъ суммы А, то имеет место равенство Ft(S1)+…+Ft(Sn)=Ft(R1)+…+Ft(Rk)+Ft(W). Доказательство этого утверждения можно выполнить ме­тодом математической индукции по двум переменным, п и k. Мы не будем его приводить, а проиллюстрируем это утверждение двумя примерами. Сделаем предварительно следую­щее замечание. Если над некоторыми суммами денег V1и V2производятся финансовые операции в один и тот же момент времени Т, то для любого момента времени tимеет место равенство Ft(Vl + V2) = Ft(Vl) + Ft(V2). Действительно, ценность в момент tсуммы V, над которой производится некоторая операция, в момент Т равна: Ft(V) = V(1+i)^t-T, поэтому Ft(V1 + V2) = (Vi + V2)(l + i)^t-Т = = Vl(l+i)^t-T + V2(l+i)^t-T = = Ft{Vx) + Ft{V2).

Применяя приведённое выше предложение, можно решать различные задачи финансовых расчётов. Рассмотрим два примера.

	Пример 3.   Господин Иванов вложил в банк 700 руб. Банк Выплачивает проценты по ставке j4= 6%.   Через 6 месяцев Иванов снял со счёта 300 руб., а через 2 года после этого закрыл счёт. Какую сумму он получил при закрытии счёта? Решение. Суммы, которые г-н Иванов снимал со счета, изобразим под осью времени, а сумму, которую он вложил,— над осью; одно деление оси времени равно одному кварталу (таков период начисления процентов). Согласно утверждению, сделанному в п. 3.2, суммарная со­временная ценность снятых со счёта денег равна современной ценности вложенных денег, т. е. 700 = 300(1 + i)-2+ x(1 +i)-10, где i= 0.06/4 = 0.015. Из этого уравнения находим яг. х = 700(1 + i)10 - 300(1 + i)8 = = 700(1.015)10 - 300(1.015)8 = = 474.43 руб.

                                          

	Пример 4. Господин Петров положил 2 года назад 600 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке j12 = 5%. Восемь месяцев тому назад он снял со счёта 400 руб., а сегодня снял ещё 100 руб. Через 3 месяца он желает вложить некоторую сумму так, чтобы через год от сегодняшнего момента закрыть счёт, получив 500 руб. Какую сумму он должен вложить? Решение. Ситуация, описанная в задаче, изображена на рисунке:

  

Как и в предыдущем примере, под осью изображены суммы, снимаемые со счёта, а над осью — суммы, положенные на счёт. Современная ценность тех и других (в любой момент времени) одинакова. Выберем в качестве современного момен­та конец третьего периода начисления процентов, т. е. момент, когда вносится искомая сумма х. Приравнивая в этот момент ценности сумм, внесённых на счёт, и сумм, снятых со счёта, получаем уравнение, из которого определяем значение х, 600(1 + i)²⁷ + х = 400(1 + i)¹¹ + 100(1 + i)³ + 500(1 + i)⁹, где i = 0.05/12 = 0.00417; подставляем это значение i в урав­нение х = 400× 1.00417 + 100× 1.004173 + 500 х 1.00417-9- -600×1.0041727 = 400×1.04684 + 100×1.01256 + 500×0.96324 - -600×1.11891 = 330.265. сть через 3 месяца надо вложить 330.27 руб.