Введение 3
Понятие логического следствия. 4
Признаки логического следствия. 7
Два свойства логического следования. 9
Следование и равносильность формул. 10
Правила логических умозаключений. 11
Нахождение следствий из данных посылок. 14
Нахождение посылок для данного следствия. 16
Заключение 17
Список использованной литературы 18
Введение
Раздел алгебры высказываний, изучающий закономерности логического следования, логического умозаключения, является ее сердцевиной. Именно в этом разделе на данном уровне развития математической логики решается основная задача логики, состоящая в нахождении общих способов установления связей логических значений одних высказываний с логическими значениями других высказываний на основании исследования формальной структуры высказываний. Одно из важнейших предназначений логики состоит в том, чтобы устанавливать, что из чего следует, т.е. устанавливать структуры высказываний, связанных отношением логического следования (часть общего назначения математики, по выражению Н.Винера, «находить порядок в хаосе, который нас окружает»). Знание этих закономерностей необходимо прежде всего самой математической науке. С помощью таких знаний происходит доказательство математических теорем и, следовательно, развитие математики. Это знание важно и для других наук, для систематизации научного знания вообще; да и в повседневной жизни оно служит инструментом рассуждений, обоснований и доказательств.
Понятие логического следствия.
Когда говорят, что из одного или нескольких предложений A1, A2, ..., Am следует предложение В, то подразумевают следующее: всякий раз, когда окажутся истинными все предложения A1, A2, ..., Am, истинным будет и предложение В. Вот примеры таких следований: «Если летом я устроюсь на временную работу (утверждение А), то у меня будут заработанные деньги (утверждение В)», «Если у меня будут заработанные деньги (утверждение В), то я куплю видеомагнитофон (утверждение C)», «Если днем я не приготовлю уроки на завтра (утверждение А1), и если вечером я пойду в кино (утверждение А2), то завтра я буду не готов к занятиям (утверждение D)». Установление справедливости приведенных суждений не относится к компетенции математической логики, а осуществляется на основе анализа их содержания и смысла.
Задача математической логики (в частности, алгебры высказываний) в вопросах логического следования состоит в том, чтобы указать такие формы высказываний A1, A2, ..., Am, В, когда последнее высказывание непременно было бы следствием m первых, независимо от конкретного содержания всех этих высказываний. Формы высказываний выражаются, как нам известно, формулами алгебры высказываний. Итак, теория логического следования (в рамках алгебры высказываний) должна изучать закономерности образования формул F1, F2, ..., Fm, H, по которым первые т из них связаны с последней отношением логического следования.
Вернемся к двум первым суждениям, приведенным в начале пункта: А → В и В → С. Вынесем относительно них следующее умозаключение: «Если A → В и В → С, то A → С». Формулировка данного суждения без использования математической символики будет, конечно, неуклюжа. Поэтому сформулируем его так: «Если высказывание А → В верно и высказывание В → С верно, то верно и высказывание А → С». Нет никаких сомнений в том, что высказанное суждение справедливо. Более того, мы осознаем его справедливость, даже не интересуясь содержанием простейших высказываний А, В и С. Значит, высказывание, имеющее форму Х → Z, следует из двух высказываний, имеющих формы X → Y и Y → Z, независимо от того, каковы высказывания X, Y, Z.
Перейдем теперь к точному определению понятия логического следствия и к изучению свойств этого понятия.
Определение 6.1. Формула Н(Х1, ..., Хп) называется логическим следствием формул F1(X1, ..., Хп), ..., Fm(X1, ..., Хп), если формула H(X1, …, Xn) превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных Х1, ..., Хп конкретных высказываний, при которой в истинное высказывание превращаются все формулы F1(X1, ..., Хп), ..., Fm(X1, ..., Хп). То, что формула H является логическим следствием формул F1, ..., Fm, записывается так: F1, ..., Fm ╞ H. Формулы F1, ..., Fm называются посылками для логического следствия H.
Таким образом, F1, ..., Fm ╞ H, если для любых высказываний А1, ..., An из λ(F1(A1, ..., An)) = 1, ..., λ (Fm(A1, ..., An)) = 1 следует λ (Н(А1, ..., An)) = 1. Наконец можно и так сказать о логическом следствии. Составим таблицы истинности для формул F1, ..., Fm, H. Предположим, что если в какой-то строке таблицы все формулы F1, ..., Fm принимают значение 1, то в этой строке непременно и формула H принимает значение 1. Это и будет означать, что Н является логическим следствием формул F1, ..., Fm.
Из сформулированного определения вытекает четкий алгоритм проверки формул на логическое следование (далее приводится в виде схемы). Рассмотрим его действие для случая, например, трех формул-посылок, зависящих от трех переменных: F1(X, Y, Z), F2(X, Y, Z), F3(X, Y, Z) ╞ H(X, Y, Z). Все эти формулы должны быть заданы таблицей своих значений:
