- •Пермь 2007
- •Рекомендованная литература
- •Контрольные вопросы
- •Параллельный перенос осей координат.
- •Поворот осей координат.
- •Образец задания
- •Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид
- •Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида
- •Дано уравнение кривой
- •Варианты заданий
- •Вариант № 1
Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид
.(7)
Такой вид уравнения определяет кривую, оси симметрии которой параллельны осям координат (или, в случае нецентральной кривой, ось симметрии параллельна одной из осей). Выбрав в качестве новых осей координат оси симметрии, или осуществив параллельный перенос системы координат, уравнение (7) может быть приведено к каноническому виду.
Известно также, что 1) если , то уравнение (7) определяет кривую эллиптического типа ; 2) если , то гиперболического ; 3) если параболического .
Первый способ решения задания 2 а).
Линия второго порядка задана уравнением
.
В этом уравнении . Так как , то данная линия – параболического типа. Путем параллельного переноса системы координат приведем уравнение к виду . Подставим вместо их выражения через по формулам (2) : , , получим
, или
, или
.(8)
Подберем так, чтобы слагаемое с и свободный член обратились в нуль, т.е. полагая , , найдем , координаты нового начала . Найденные значения подставим в уравнение (8), получим .
Построим системы координат (данную) и . Уравнение в системе координат определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии (рис.4).
Рис. 4
Второй способ решения задания 2 а).
Возьмем то же уравнение
и разрешим его относительно : .
Выделим полный квадрат относительно
, или .
Таким образом, имеем уравнение параболы с вершиной в точке, координаты которой . Поместим начало новой системы координат в вершину параболы, в точку , и выполним параллельный перенос осей координат, используя формулы
,
тогда уравнение данной параболы в системе (см. рис.4) будет .
Решение задания 2 б).
Дано уравнение
.
Так как , , то уравнение определяет кривую эллиптического типа. Приведем уравнение к каноническому виду. Сгруппируем слагаемые с и слагаемые с
, или
,
выделим полный квадрат относительно и
, или
,
окончательно имеем
.
Перенесем начало координат в точку и воспользуемся формулами параллельного переноса системы координат
,
или, учитывая координаты выбранного начала,
,
тогда уравнение данного эллипса в системе будет выглядеть так :
.
Построим обе системы координат и эллипс.
Рис. 5
Решение задания 3.
Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида
.(9)
Инвариантом уравнения (9) называют алгебраическое выражение , составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9) , которое не изменяется при любом преобразовании координат.
С помощью инварианта определяют принадлежность кривой к определенному типу : 1) если , то уравнение определяет кривую эллиптического типа ; 2) если , то гиперболического типа ; 3) если , то параболического типа.
Так как в уравнении (9) , то оси симметрии кривой не параллельны осям координат . Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3) : , . Подставим выражения для в уравнение (9), имеем
.
Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах получаем уравнение
,(10)
где ,
,
,
, .
Выберем угол так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат , т.е. положим , или
.
Так как , поэтому . После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных .
В задании 3 дано уравнение
.
Так как , , то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат на угол , для которого ; по формулам тригонометрии
, , находим
, , и записываем по формулам поворота осей координат (3)
,
.
Подставим выражения и в данное уравнение, получим
.
Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим
.
Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными
,
выделим полные квадраты относительно ,
, или
, или
.
Поместим начало новой системы координат в точку , воспользуемся формулами параллельного переноса (2)
, , или, учитывая координаты нового начала ,
, , окончательно получим
.(11)
Построим все три системы координат , , , учитывая, что угол поворота системы
,
а точка в системе координат имеет координаты . В систему координат поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11).
Рис. 6
К заданию 4.
Как известно, пара чисел на плоскости определяет точку, а уравнение, связывающее и , – линию на плоскости. Помимо декартовых, на плоскости можно построить большое число других систем координат. Каждая из систем употребляется там, где это удобнее (и декартова – чаще всех бывает удобной), но при исследовании вращательных движений самой эффективной является полярная система координат.
Рис. 7
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки (полюса), исходящего из этой точки луча (полярной оси) и указанием единицы масштаба. Рассмотрим произвольную точку плоскости ; обозначим расстояние точки от полюса через , угол, на который нужно повернуть луч для совмещения его с , через φ . Угол φ будем понимать так, как это принято в тригонометрии (т.е. углы, получаемые при вращении полярной оси вокруг полюса против часовой стрелки, положительны ; при вращении полярной оси по часовой стрелке – отрицательны). Числа (полярный радиус) и φ (полярный угол) называют полярными координатами точки и записывают . Для того чтобы соответствие между точками плоскости и парами чисел было взаимно однозначным, обычно считают, что и (или .
Запишем формулы, устанавливающие связь декартовых координат с полярными. Из получим
, (12)
а также .
Решение задания 4 а).
Построим линию, заданную уравнением
, где .
Для построения указанной линии составим таблицу значений и (придавая значения, равные , ).
Ввиду четности значения для одинаковы.
На плоскости построим точки, соответствующие имеющимся в таблице парам чисел и , в выбранной нами полярной системе координат. Соединяя последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (Рис.8).
Рис. 8
Решение задания 4 б).