Операции над векторами Сложение векторов

В алгебраическом представлении при сложении векторов с = a + b проекция результирующего вектора на оси координат является суммой соответствующих проекций складываемых векторов с учётом их знака:

с_x = a_x + b_x ; с_y = a_y + b_y ; с_z = a_z + b_z .

Если точка привязки не важна, а важна лишь величина (длина) результирующего вектора, то сложение векторов можно считать коммутативной операцией (от перемены мест слагаемых сумма не меняется). В противном случае точка привязки результирующего вектора определяется исходя из физического смысла производимой операции (как правило, в физике точки привязки всех складываемых векторов и суммарного вектора совпадают, — то есть и все слагаемые, и их сумма применимы к одной и той же точке пространства или материальной точке).

Вычитание векторов

Вычитание векторов с = a – b можно представить как сложение уменьшаемого вектора с вектором, противоположным вычитаемому по направлению и равным ему по величине. Таким образом, в агебраическом представлении проекции вычитаемого вектора на оси координат меняют свой знак:

с_x = a_x – b_x ; с_y = a_y – b_y ; с_z = a_z – b_z .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число b = k · a в алгебраическом виде достаточно все его проекции умножить на это число:

b_x = k · a_x ; b_y = k · a_y ; b_z = k · a_z .

В строго геометрическом смысле при умножении на число начало вектора остаётся на месте, а «удлиняется» его конец. Однако на физических иллюстрациях часто остаётся на месте точка конца вектора, скажем точка приложения силы, хотя в общем случае этот вопрос всегда определяется физическим смыслом решаемой задачи.

Операция умножения на число является коммутативной a · k = k · a (от перемены мест сомножителей результат не меняется). При положительном множителе результирующий вектор сонаправлен с исходным, при отрицательном направление меняется на строго противоположное. Поэтому результат умножения вектора на число всегда коллинеарен с исходным вектором, за исключением случая, когда множитель или исходный вектор являются нулевыми — тогда результатом будет нулевой вектор, говорить о направлении которого некорректно.

Скалярное произведение векторов

Результатом скалярного перемножения векторов является число, равное произведению их модулей, умноженному на косинус угла между ними.

Вычисление скалярного произведения

В алгебраической форме скалярное произведение d = a · b вычисляется как

d = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z .

Свойства скалярного произведения

Коммутативность: a · b = b · a .

Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c .

Сочетательность (линейность) относительно скалярного множителя: k · (a · b) = (k · a) · b = a · (k · b) .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: a · a = |a|² (норма вектора).

Векторное произведение векторов

Правая тройка векторов и правая система координат.

Результатом векторного перемножения двух векторов является вектор, длина которого равна произведению их модулей, умноженному на синус угла между ними, а сам вектор ориентирован таким образом, что перпендикулярен обоим исходным векторам, и тройка a b c является правой.

Вычисление векторного произведения

В алгебраической форме векторное произведение c = [a × b] в правой системе координат вычисляется как

с_x = a_y · b_z – a_z · b_y ; с_y = a_z · b_x – a_x · b_z ; с_z = a_x · b_y – a_y · b_x .

В левой системе координат знаки слагаемых меняются на противоположные.

В физике обычно подразумевается, что точки привязки всех перемножаемых векторов и результирующего вектора совпадают (и вектора-сомножители, и результат их векторного произведения действуют в одной и той же точке пространства).