Понятие вектора

В геометрическом смысле вектор — это направленный отрезок, обычно определяемый точками своего начала и конца. В физическом смысле под векторами обычно понимаются величины, имеющие направление в трёхмерном пространстве. Как правило, они характеризуются абсолютной величиной, направлением и точкой приложения (точкой привязки). Во времена Ньютона эти три категории были достаточно автономны и их увязка была своего рода искусством. Применение концепции векторов позволило формализовать естественную взаимосвязь этих категорий и сделать операции над ними более наглядными и удобными.

Ограничения

В силу специфики сайта векторные операции рассматриваются для наиболее частого случая — трёхмерного пространства, описываемого в декартовой системе координат (три взаимно ортогональные оси отсчёта). Для пространств меньшей мерности (двухмерной плоскости и одномерной прямой) обычно достаточно обнулить «неиспользуемые» координаты. Пространства большей мерности не рассматриваются, поскольку до сих пор являются физической экзотикой. Для работы с ними следует изучить курс векторной алгебры более серьёзно.

В связи с малой практической востребованностью не рассматривается выполнение операций над векторами в полярных и других недекартовых системах координат. Не рассматривается и матричное исчисление, поскольку для трёхмерного пространства алгебраическая форма векторных операций является достаточно простой и удобной, хотя и не столь универсальной. Кроме того, матричное исчисление требует достаточно специфического подхода, что затрудняет его применение теми, кто с прежде с матрицами не сталкивался.

Основные понятия

Рассмотрим основные понятия, используемые на этой странице.

Проекции и координаты вектора

Любой трёхмерный вектор можно спроецировать на три взаимно перпендикулярные оси отсчёта, пересекающиеся в одной точке (декартовы оси координат). Выбор точки отсчёта и положение осей (базис системы координат) теоретически непринципиален, но на практике обычно выбирается так, чтобы как можно большее число участвующих в расчёте векторов было направлено вдоль какой-либо из осей координат — это упрощает вычисления.

Каждый вектор можно охарактеризовать координатами двух точек — его начала и конца, — либо проекциями на оси координат и координатами точки привязки (обычно точкой привязки является начало вектора, но иногда бывает удобнее использовать в этом качестве его конец). В физике чаще применяется второй подход. В этом случае в трёхмерном пространстве вектор a описывается шестью величинами — координатами его точки привязки x_a, y_a, z_a и проекциями на оси a_x, a_y и a_z. Иногда точка привязки не имеет принципиального значения либо подразумевается неявно, и тогда обходятся тремя значениями — проекциями векторной величины на оси координат (a_x, a_y, a_z).

Некоторые определения

Модулем вектора |a| в геометрии называется его длина, а в физике — абсолютное значение направленной величины (т.е. значение, измеренное вдоль направления её действия).

Среди всевозможных взаимных ориентаций векторов выделяют коллинеарные и ортогональные вектора.

Коллинеарными называются такие вектора, векторное произведение которых равно нулю. Это параллельные вектора. Коллинеарные вектора могут быть сонаправленными или встречными, то есть направлеными строго в противоположные стороны.

Ортогональными называются такие вектора, скалярное произведение которых равно нулю. Для любого вектора все вектора, лежащие в любой перпендикулярной ему плоскости, будут ортогональны.

Понятие равных векторов менее однозначно. Иногда под этим понимают любые сонаправленные вектора одного размера, расположение точки привязки которых безразлично и может быть в любом месте пространства. Более строгое определение подразумевает и совпадение точек привязки. В физике под «равенством векторов» обычно имеют в виду первый случай (величины и направления одинаковы, положение точки привязки произвольно). Если же одинаковы и точки привязки, то речь идёт о совпадающих (эквивалентных) векторах.

Нулевым является вектор, имеющий нулевую длину, то есть у которого координаты начала и конца строго совпадают. В связи с этим обычно нельзя говорить о направлении такого вектора, поэтому его считают не имеющим направления. Иногда нулевой вектор трактуют как всенаправленный, хотя в строгом смысле это не так.