3. Распределение Больцмана

Барометрическая формула выражает зависимость концентрации молекул газа, находящегося в поле сил тяжести. Величина mgx представляет собой потенциальную энергию молекул на высоте х. Можно также сказать, что формула

n= n₀e^(-m₀ ^g/kT)x

дает нам число частиц n в единице объема, энергия которых равна m₀gx, если концентрация частиц с энергией равной 0 равно n₀ (отсчет х снизу).

Нет оснований считать, что поведение газа изменится, если вместо силы тяжести на него будет действовать какая либо другая сила, тогда для любого силового поля можно сказать,.что число частиц, имеющих заданную потенциальную энергию U, определяется формулой

n= n₀e^-U/kT – формула Больцмана

Она позволяет определить долю частиц, которые в условиях теплового равновесия обладают энергией U:

n/n₀= e^-U/kT

Отсюда видно, что доля n/n₀ частиц с энергией U, т.е., их распределение по энергии определяется (кроме U) температурой. При данной Т доля молекул с той, либо иной энергией зависит от U и быстро уменьшается с ростом энергии. Доля молекул с большой энергией мала. И чем ниже Т, тем быстрее n/n₀ убывает с ростом U, рис. . Чем выше температура, тем равнемернее распределен газ по объему.

Величина n/n₀ в формуле имеет также смысл вероятности n молекул из всего числа n₀ иметь заданную энергию U.

Б-19

1. Кинетическая энергия.

2. Замедление времени.

3. Функция распределения. Распределение Максвелла.

1. Кинетическая энергия частицы в силовом поле.

Пусть частица массой движется пол действием силы . Элементарная работа этой силы: ; () . Скалярное произведение ; — проекция вектора приращения скорости на направление вектора . Она равна — приращению модуля вектора скорости, тогда и работа . Отсюда видно, что работа результирующей силы идет на приращение некоторой физической величины , которую называют кинетической энергией и которая является мерой энергии движения материальной точки.

, т.о. (*)

При конечном перемещении из т.1 в т.2

; (**)

3. 10 Распределение Максвелла

Полученная ранее барометрическая формула обязана своим видом тому, что скорости молекул не одинаковы, а распределены определенным образом. Характер этого распределения и определяет вид зависимости плотности молекул от высоты.

n= n₀е^(-mg/kT)x

Пользуясь этой формулой можно найти вид функции распределения молекул по скорости.

Возьмем сосуд с газом в пустом пространстве в поле сил тяжести. Газ находится в состоянии равновесия и его молекулы каким-то образом распределены по скорости. Сила тяжести действует на Z компоненту скорости (по вертикали), поэтому найдем распределение молекул по значению составляющей скорости v_z. Движение вверх вдоль оси Z сопровождается уменьшением Z компоненты скорости. Если на начальной высоте Z₀ скорость равна v_z0, то на высоте Z значение v_z можно найти из закона сохранения энергии:

m(v_z0)²/2= m(v_z0)²/2+mgZ (*)

Молекулы с энергией m(v_z0)²/2≤mgZ не могут подняться выше Z=(v_z0)²/2g, они после подъема до Z падают вниз c ускорением.

Выделим на высоте Z слой dZ с площадью S=1м². Газ в слое состоит из движущихся вверх и вниз молекул (нас интересуют молекулы вдоль оси Z). Разница между молекулами снизу и сверху состоит в том, что молекулы, приходящие снизу, имеют Z-компоненту скорости с v≥√2gZ, в то время, как молекулы, приходящие сверху, могут иметь Z-компоненту с любыми скоростями от 0 до ∞.

В условиях равновесия число молекул в слое должно быть постоянно, число молекул, проходящих сверху вниз, должно быть равно числу молекул, проходящих снизу вверх. На высоте Z₀ число молекул в единице объема с Z компонентой скорости, лежащей в интервале от v_z0 до v_z0+dv_z0 определяется выражением: dn_z0= n_z0f(v_z0)dv_z0

В единицу времени слой на высоте Z пересекает n_z0f(v_z0)dv_z0 молекул, а общее число молекул, пересекающих слой снизу вверх (обозначим его через N_↑) равно

∞

√2gz

∞

√2gz

N_↑=∫n_z0v_z0f(v_z0)dv_z0= n_z0∫v_z0f(v_z0)dv_z0

Таким же образом число молекул, пересекающих слой сверху N↓=∫n_zv_zf(v_z)dv_z=n_z∫ v_zf(v_z)dv_z

∞

0

∞

0

Приравняв N_↑ и N↓, разделив на n_z0 и учтя барометрическую формулу n_z/n_z0=е^(-mg/kT)z

∞

√2gz

∞

0

Получим: ∫f(v_z0)v_z0dv_z0= е^(-mg/kT)z ∫ f(v_z)v_zdv_z

Из закона сохранения энергии (*) при дифференцировании получим: v_z0dv_z0= v_zdv_{z ,} тогда

∞

0

∞

0

∫f(v_z0)v_zdv_z=e^-∫f(v_z)v_zdv_z

заменили предел интегрирования т. к. v_Z изм. от 0 до 

то есть f(v_z)=f(v_z0)е^(-mg/kT)z (**)

Сравнивая это с законом сохранения энергии (*) можно убедится, что функции f(v) должны иметь вид:

f(v_z)=Ае и f(v_z0)=Ae

Значит f(v_z)=Ае

Число молекул в единице объема, с Z компонентой скорости, лежащей в интервале от v_Z до v_Z+ dv_Z выражается формулой

dn=nAe dv_Z; a dn/n=Ae dv_z –

вероятность того, что Z-комп. скорости любой молекулы газа равна Z_Z с точностью до dv_Z.

∞

-∞

∞

-∞

Постоянная А находится из усл. нормировки ∫ dn/n=A∫ e^- dv_z=1

Вероятность того, что молекула газа обладает скоростью с любым значением Z компоненты: А=(∫ е^- dv_z)^-1

∞

-∞

Вводится переменная х² = m(v_z)²/2kT => v_Z = √2kT/m x => dv_z = √ dx

∞

-∞

2

Интеграл сводится к ∫ e^-х dx = √ π и тогда A = √m/2πkT

И формула распределения принимает вид: f(v_z) = dn/ndv_Z = (m/2πkT)^1/2×e

f(v_Z)→0 при v_Z→∞

Видно,что доля молекул с Z-компонентой скорости равной 0 не равна 0, она равна А и с повышением Т уменьшается.

Мы получили распределение молекул по Z- составляющей скорости в поле сил тяжести, но это не означает, что распределение связано с действием силы тяжести. И что mg создает это распределение. Сама барометрическая формула является следствием распределения молекул по скорости. Сила тяжести лишь «проявила» существование в газе распределения, поэтому в f(v) сила тяжести не входит (нет g).

Очевидно, что совершенно такие же распределения должны быть и по другим компонентам скорости:

dn/ndv_x = Ae

dn/ndv_y = Ae

Теперь нужно найти вероятность того, что скорости молекул удовлетворяют трем условиям:

v_x лежит в пределах от v_x до v_x+dv_x , v_y лежит в пределах от v_y до v_y+dv_y , а v_z лежит в пределах от v_z до v_z+dv_z. Значения составляющих скоростей молекул по каждой из осей координат не зависят от значений по другим осям. Поэтому, вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трем условиям является «вероятностью сложного события», т.е. равна произведению вероятностей.

Если обозначить число молекул в единице объема газа dn_xyz с составляющими по осям dn_x, dn_y, dn_z ,то

dn_xyz/n = A³e dv_xdv_ydv_z v² = Σ(v_i)²

Эта формула показывает, сколько молекул из числа находящихся в единице объема обладают скоростями, составляющие которых по осям координат лежат в интервале между v_x и v_x+dv_x, v_y и v_y+dv_y, v_z и v_z+dv_z , т.е. обладают скоростью, лежащей в интервале заданном и по величине и по направлению. В распределении необходимо учесть все любые направления движения.

Если собрать все молекулы единицы объема газа со скоростями в интервале от v до v+dv по всем любым направлениям и выпустить их, то они, разлетаясь по всем направлениям, через 1 с окажутся равномерно распределенными в шаровом слое радиусом v и толщиной dv. Число молекул в единице объема этого слоя (объем скоростей) такое же, как и в параллелепипеде объемом dv_xdv_ydv_z. Число же молекул во всем слое – это и есть число молекул в единице объема газа, независимо от направления, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv:

dn = n(m/2πkT)^3/2edΩ; dΩ = 4πv²dv, отсюда:

dn/n =( 4/√π )(m/2kT) ^3/2 v² dv

Это и есть закон Максвелла распределения молекул по скоростям.

dn/n – вероятность того, что у произвольно выбранной молекулы газа скорость окажется лежащей в интервале от v до v+dv, Другими словами, это доля всех молекул ед. объема, скорости кот. лежат в интервале от v до v+ dv. Величина

f(v) = dn/ndv = (4/√π )(m/2kT) ^3/2 v² edv –функция распределения молекул по скоростям.

Она определяет долю молекул в единице объема, скорости которых заключены в единичном интервале скоростей вблизи v, включающем данную скорость.

f(v) обращается в 0 при v = 0 и v = ∞, т.е., нет неподвижных молекул и нет молекул с бесконечно большой скоростью. Имеется максимум при v_н, т.е. наибольшая часть молекул движется со скоростью v ≈ v_н, т.е. вероятность того, что молекула имеет скорость v_н – наибольшая, поэтому v_н называют наиболее вероятной скоростью.

Пользуясь кривой распределения молекул по скоростям можно графически найти долю молекул dn/n в единице объема газа, скорости которых лежат в заданном интервале скоростей dv. Графически - это площадь с основанием dv и высотой f(v). Вся площадь под кривой f(v) соответствует общему числу молекул в единице объема.

Вид кривой зависит от природы газа и от Т. С повышением Т максимум смещается в сторону больших скоростей, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. n = const.

При выводе распред. Максвелла по скоростям совершенно не принимали во внимание столкновения молекул между собой, хотя они изменяют скорость и влияют на распределение. В действительности именно благодаря столкновениям и устанавливается максвелловское распределение по скоростям. При каждом столкновении скорость одной молекулы увеличивается, другой уменьшается. Максвелл предположил, что равновесному состоянию отвечает такое, при котором число молекул, скорости которых увеличиваются при столкновении равно числу молекул, скорости которых уменьшаются при столкновениях. Такому состоянию и соответствует распределение Максвелла.

Позже Больцман показал, что если газ находится в состоянии с немаксвелловским распределением, то благодаря столкновениям он сам собой переходит в состояние с максвелловским распределением.

Распределение Максвелла (иногда говорят Максвелла -Больцмана) – это равновесное распределение. Теперь можно дать определение хаотичному движению: движение молекул полностью хаотично, если скорости распределены по закону Максвелла.

Б-20

1. Полная механическая энергия частицы.

2.Равенство поперечных размеров тел и лоренцево сокращение.

3. Средние скорости молекул: арифметическая, квадратичная, наиболее вероятная.

1. Полная механическая энергия частицы.

Т.о. приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу. Если частица находится в стационарном поле консервативных сил, то на нее действует консервативная сила со стороны поля. кроме этого на неё могут действовать и другие силы ; т.е. результирующая сила .

Работа всех этих сил идет на изменение приращения кинетической энергии частицы

Известно также, что работа консервативных сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы.

, значит или

Т.о. работа сторонних сил идёт на приращение величины . Эту величину называют полной механической энергией частицы в поле . Отсюда видно, что определяется с точностью до постоянной, так как с точность до определяется . Теперь можно записать

(***)

т.е. приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно работе сторонних сил, действующих на частицу на этом пути; Если , то полная механическая энергия частицы растёт при , — уменьшается.

Пример: Тело, падающее с обрыва

.