5.1.2. Коэффициент корреляции.

Теснота связи в корреляционной зависимости (5.11) характеризуется параметром . Однако его величина зависит от единиц измерения переменных, что очень неудобно. Разделим обе части равенства (5.11) на и представим уравнение в эквивалентном виде:

. (5.16)

Величина

(5.17)

называется коэффициентом корреляции Пирсона и показывает на сколько величин изменится в среднем , когда увеличится на одно .

Коэффициент корреляции характеризует близость к линейной зависимости между двумя переменными.

Учитывая (5.12), формулу (5.17) для представим в виде, удобном для практических расчетов:

, (5.18)

где выборочные стандартные отклонения.

находим по формуле (5.13), а по формуле:

. (5.19)

Коэффициент корреляции принимает значения (Рис. 5.2.). Чем ближе к единице, тем теснее связь. Если связь называется прямой (положительная корреляция), если обратной (отрицательная корреляция). При линейная корреляционная связь отсутствует.

Оценка значимости коэффициента корреляции.

Иногда требуется оценить значимость коэффициента корреляции (5.18). При этом исходят из того, что при отсутствии корреляционной связи статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Коэффициент корреляции значим на уровне (т.е. гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю отвергается), если

, (5.20)

где – квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы и уровнем значимости .

Коэффициент детерминации.

Наиболее эффективной оценкой адекватности регрессионной модели является коэффициент детерминации . Его величина показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией факторной переменной. Пределы изменения коэффициента детерминации .

Критерий значимости уравнения парной регрессии или самого коэффициента детерминации может быть записан в виде

, (5.21)

где уровень значимости;

число наблюдений;

табличное значение критерия Фишера-Снедекора, определенное на уровне значимости при и степенях свободы.

Пример 5.2. По данным табл. 5.1 вычислить коэффициенты корреляции и детерминации между переменными и , оценить их значимость на уровне . 1) Ранее было вычислено ; следовательно . По формуле (5.19) находим . Подставляем полученные значения в (5.18): , то есть связь между переменными достаточно тесная. Коэффициент детерминации . Доля вариации 0,8 обусловлена вариацией фактора. 2) Статистика (5.20) равна По таблицам . Т.к. , то коэффициент корреляции значим. Статистика (5.21) . Табличное значение . Т.к. , то коэффициент детерминации и уравнение регрессии значимы.