- •§ 7. Свойства некоторых элементарных функций, их конформные отображения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •5. Показательная функция
- •Решение.
- •6. Тригонометрические и гиперболические функции
- •7. Функция Жуковского
- •§ 8. Интеграл от фкп п. 1. Определение, теорема существования
- •П. 2. Вычисление и свойства
- •Свойства
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Следствия из теоремы Коши
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
Решение.
Контур L : – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом . D – область внутри окружности (рис. 36).
Найдем особые точки подынтегральной функции , т.е. точки, где знаменатель обращается в нуль: , особые точки.
Данные точки не лежат внутри контура интегрирования L (рис. 35), т.е. , следовательно, по теореме Коши (формула 19 или по правилу 1 замечания),
Пример . Вычислить интеграл по заданному контуру: .
Решение.
– уравнение окружности с центром в точке z = i и радиусом 1. D1 – область внутри окружности (рис. 37). , особые точки подынтегральной функции (нашли в примере 1). Из них точка , точка .
Поэтому рассмотрим многосвязную область D, ограниченную окружностью и внутренним контуром (рис. 38).
Тогда в этой области функция аналитическая, и по следствию 1 (теореме Коши для многосвязной области (формула (21/)) можем записать, что , т.е. = .
Данный интеграл вычислим при помощи интегральной формулы Коши : . Для этого выделим в знаменателе особую точку: =(k = 0, ) = =
Замечание. Данный пример можно решить, используя следствие к теореме 12, не выделяя внутреннюю область, ограниченную контуром l или по правилу 2 замечания.
Пример . Вычислить интеграл по заданному контуру: .
Решение.
– уравнение окружности с центром в точке z = i и радиусом 3. D1 – область внутри окружности (рис. 39).
, особые точки функции (нашли в примере 1). Они обе лежат внутри контура. Поэтому рассмотрим многосвязную область D, ограниченную окружностью и двумя внутренними контурами и (рис. 40).
Тогда в этой области функция аналитическая, и по следствию 1 (теореме Коши для многосвязной области (формула (21/)) можем записать, что , т.е.
= = (выделим в знаменателях особые точки) = =+= .
Пример . Вычислить интеграл по заданному контуру: .
Решение.
– уравнение окружности с центром в точке z = –i и радиусом 2. D1 – область внутри окружности (рис. 41).
Найдем особые точки: , – особые точки, причем имеет кратность равную 2.
Знаменатель обращается в нуль внутри контура в особой точке вторая особая точка . Тогда в области D функция аналитическая, за исключением нуля, и по следствию к теореме 12 или правилу 3 замечанию к нему, можем записать, что
=(k = 1, ) =
= .