- •§ 7. Свойства некоторых элементарных функций, их конформные отображения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •5. Показательная функция
- •Решение.
- •6. Тригонометрические и гиперболические функции
- •7. Функция Жуковского
- •§ 8. Интеграл от фкп п. 1. Определение, теорема существования
- •П. 2. Вычисление и свойства
- •Свойства
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Следствия из теоремы Коши
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
П. 2. Вычисление и свойства
, где отсюда тогда интегральная сумма запишется в виде: .
Перейдем к пределу при и получим формулу для вычисления интеграла:
. ( )
В результате получили полную аналогию между криволинейными интегралами 2-го рода и интегралами от ФКП. Т.о. вычисление интеграла от ФКП сводится к вычислению двух криволинейных интегралов.
Свойства
1.
2.
3.
4. ,
5.
6. Если – аналитическая функция, то интеграл не зависит от пути интегрирования l.
Замечание. Если дуга l задана параметрическим уравнением , где , то . Если дуга – окружность с центром в начале координат или часть окружности, то удобнее представить ее уравнение в виде .
Пример . Вычислить , где l – верхняя полуокружность с обходом против часовой стрелки (рис. 30).
Решение.
, тогда , .
, тогда .
Подставим в формулу (18) для вычисления интеграла.
.
Если в примере окружность задать параметрическим уравнением: , где , а , то интеграл преобразуется к виду:
.
Замечание. При интегрировании многозначной функции необходимо выделять ее однозначную ветвь. Это достигается обычно заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования.
Пример . Вычислить по заданному контуру , где одно из значений корня .
Решение.
– многозначная функция. Представим ее в показательной форме: .
В условии задачи рассматривается , причем , следовательно, , тогда имеем, что , где (*)
Для интегрирования необходимо выделить однозначную ветвь заданной функции , т.е. найти значение k. Для этого применим заданное значение многозначной функции в точке z = 1: (**)
Найдем значение корня в тригонометрической форме: .
следовательно, . Тогда получим, что (***) .
Сравним (**) и (***):
условию (**) удовлетворяет та однозначная ветвь функции, для которой k = 1. Подставим k = 1 в (*):
.
Запишем переменную z в показательной форме: , а так как по условию , то . Найдем дифференциал dz: .
Пределы интегрирования даны в условии задачи: .
Подставим найденные , z, dz в исходный интеграл:
.
П. 3. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
Теорема Коши. Если функция однозначная аналитическая функция в односвязной области D, ограниченной контуром L и l – замкнутый контур в области D (рис. 31), то
( )
Если, дополнительно, функция – непрерывна в замкнутой области , то
( )
Следствия из теоремы Коши
Следствие 1. Теорема 11 (теорема Коши для многосвязной области).
Если функция аналитическая в многосвязной области D, ограниченной контуром L и внутренними по отношению к нему контурами l1, l2,…, lk и непрерывна в замкнутой области (рис. 32), где знаки в верхних индексах означают направления обходов, то
или . ( )
или , (рис. 33). ( )
Следствие 2. Интегралы от аналитических функций вдоль любых двух кусочно-гладких кривых с общим началом z0 и концом z1 равны.
, если замкнутый контур (рис. 34).
Следствие 3. Интеграл от аналитической функции, заданной в односвязной области D, зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования:
Следствие 4. Интеграл при фиксированном z0 является функцией верхнего предела: Ф(z), где Ф(z) является аналитической в области D и Ф/(z) = f(z).
Следствие 5. Если – аналитическая функция в односвязной области D, то Ф(z) называется первообразной или неопределенным интегралом от функции , причем если F(z) – одна из первообразных для , то . ( )
Теорема (интегральная формула Коши).
Значение функции , аналитической в односвязной области D, в особой точке определяется ее значениями на любом замкнутом кусочно-гладком контуре l, охватывающем точку z0 , целиком лежащем вместе со своей внутренностью в области D (рис. 35), и вычисляется по формуле:
.
При этом функция имеет всюду в D производные любого порядка, для которых справедливы формулы:
k =1,2,… ( )
(без доказательства)
Замечание 1. Из формулы (23) можно найти значение криволинейного интеграла вида:
, ( )
где z0 – особая точка функции , лежащая внутри контура l.
Замечание 2.
Следствие из теоремы . Если функция аналитическая в замкнутой односвязной области , где L – граница области D, , то имеет место формула:
(без доказательства)
Замечание. При вычислении интеграла вида , где аналитическая функция в односвязной области , – многочлен, не имеющий нулей на контуре L, удобно пользоваться правилами:
1) если в области D нет нулей многочлена , тогда ;
2) если в области D расположен один простой нуль z = z0 многочлена , тогда , где f(z) – аналитическая функция в области ;
3) если в области D расположен один кратный нуль z = z0 многочлена кратности k, тогда , где f(z) – аналитическая функция в области ;
4) если в области D расположено два нуля z = z1, z = z2 многочлена , тогда, по формуле (21), , где l1 и l2 – границы непересекающихся окрестностей точек z = z1, z = z2.
Теорема теорема Лиувилля.
Если функция аналитическая и ограниченная во всей плоскости Гаусса, то .
(без доказательства)
Пример . Вычислить интеграл по заданному контуру: , где : .