9.2. Нечеткое множество и его характеристики.

Нечетким множеством А. определенным на некоторой числовой предметной области Х, называется множество пар [10]:

А = {():}, (9.1)

где – степень принадлежности элемента , представляющая функцию . Функция принадлежности может задаваться графически, аналитически или таблично, При аналитическом задании функцию обычно используют следующие аппроксимации: линейную, полиномиальную, гауссову (нормальную), сигмоидальную и др.

Нечеткое множество А, у которого функция принадлежности = 0 во всей области Х , называется пустым А = . Если для всех элементов предметной области =1, то такое нечеткое множество называется универсальным и обозначается символом U.

Равенство нечетких множеств А и В определяется соотношением:

А = В ()=(). (9.2)

Очевидно, равенство нечетких множеств (9.2) обладает свойствами рефлексивности (А=А); симметричности (А=ВВ=А) и транзитивности (А=ВВ=СА=С).

Введение подмножества (отношения включения) для нечетких множеств определяется соотношением:

А В ()А ()В, (9.3)

где . Отношение включения (9.3) рефлексивно (АА), транзитивно (АВВСАС) и антисимметрично (АВВАА=В).

Наиболее распространенными характеристиками нечеткого множества А являются следующие:

высота нечеткого множества, определяемая как верхняя грань значений, принимаемых функцией принадлежности в области Х:

h(A) = sup (), ; (9.4)

носитель нечеткого множества – подмножество области Х, содержащее элементы, степень принадлежности которых отлична от 0:

S(A) = Carr(A) = {x: > 0, }; (9.5)

ядро нечеткого множества – подмножество области Х, элементы которого имеют степень принадлежности 1:

C(A) = Ker(A) = {x: > 0, }; (9.6)

вертикальное представление нечеткого множества – это множество пар () на декартовой плоскости. Пример вертикального представле-ния нечеткого множества представлен на рис.9.1.

1,0

0 1 2 3 4 5 6 x

0,5

	0	0,25	0,5	0,75	1	0,5	0
х	0	1	2	3	4	5	6

Рис.9.1. Пример вертикального представления дискретного

нечеткого множества.

Замечание. В некоторых случаях не удается определить степень принадлежности точно, в числовой форме, как это сделано в определении (9.1).Иногда это можно сделать только лингвистически, используя нечеткую меру. В этом случае функция принадлежности принимает вид , где L – множество нечетких значений степени принадлежности, и тогда множество А иногда называют нечетким множеством 2-го рода [10].