- •Учебно-методическое пособие к решению типовых расчетных заданий
- •Введение
- •1. Преобразование Лапласа и его свойства
- •1. Свойство линейности.
- •4. Теорема смещения изображения.
- •5. Дифференцирование оригинала.
- •2. Нахождение изображения функций. Примеры
- •3. Нахождение оригинала по известному изображению. Примеры
- •4. Решение линейных дифференциальных уравнений и их систем методом операционного исчисления. Примеры
- •5. Применение операционного исчисления к решению интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Примеры
- •6. Индивидуальные задания
- •Оглавление
- •Учебное издание Гладун Кирилл Кириллович операционное исчисление и его приложения
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(НОВОЧЕРКАССКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ)
ВОЛГОДОНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебно-методическое пособие к решению типовых расчетных заданий
Новочеркасск 2004
УДК 51. (076.1)
Рецензент д-р техн. наук, проф. Ю.С. Сысоев
Гладун К.К.
Операционное исчисление и его приложения: Учебно-методическое пособие к решению типовых расчетных заданий /Волгодонский ин-т (филиал) ЮРГТУ(НПИ). Новочеркасск: ЮРГТУ, 2004. 37 с.
Пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу высшей математики. Содержит справочный материал, а также минимум теоретических понятий, лежащих в основе изложенных методов решения типовых задач. Предложены индивидуальные типовые расчетные задания (ТР) для самостоятельного решения.
Пособие предназначено для методического обеспечения системы ТР по специальным главам высшей математики.
Волгодонский институт (филиал) ЮРГТУ, 2004
Гладун К.К., 2004
Введение
Методы операционного исчисления, получившие довольно широкое распространение, представляют собой своеобразный способ решения различных математических задач, в первую очередь дифференциальных уравнений. В основе этих методов лежит идея интегральных преобразований, связанная с сопоставлением решению исходной задачи, функции f(t) действительной переменной, некоторой функции F(р) комплексной переменной. При этом обыкновенное дифференциальное уравнение для функции f(t) переходит в эквивалентное, более простое для решения, алгебраическое уравнение для F(р), решив которое, мы затем находим f(t) – решение исходного уравнения.
С подобной ситуацией мы встречались в школьном курсе математики, решая задачу вычисления значения алгебраического выражения, составленного из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень.
Например, при вычислении выражения
для определенных положительных значений и , можно поступить следующим образом. Помня о том, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над исходными числами (при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении – вычитаются и т.д.), прологарифмируем данное выражение:
.
Тем самым от задачи вычисления выражения А, включающего сложные операции над величинами а, b и с, мы переходим к вычислению его логарифма, включающего более простые операции над логарифмами указанных величин. Используя таблицы логарифмов, находим не само выражение А, а его логарифм. Затем, осуществляя обратную операцию, находим значение исходного выражения.
В дальнейшем будем рассматривать операционное исчисление, построенное на основе преобразования Лапласа.
1. Преобразование Лапласа и его свойства
Преобразованием Лапласа заданной функции f(t) действительной переменной t называется преобразование, ставящее в соответствие функции f(t) функцию F(р), определенную с помощью интеграла
,
где р – положительное действительное число или комплексное число с положительной действительной частью.
Естественно, что не для всякой функции f(t) этот интеграл имеет смысл. Введем в рассмотрение класс функций f(t), для которых данное преобразование заведомо реализуемо. Будем рассматривать функции f(t), определенные для всех значений действительной переменной и удовлетворяющие следующим условиям:
а) для всех отрицательных t
f(t)=0;
б) на любом конечном отрезке положительной полуоси 0t функция f(t) и f'(t) имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода (конечных скачков);
в) функция f(t) растет не быстрее показательной, т.е. существуют такие действительные постоянные и , что для всех t.
Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми по Лапласу, или оригиналами, а функции F(р) – лапласовым изображением f(t), или просто изображением f(t).
Переход от оригинала f(t) к изображению F(р) будем обозначать символами
или ,
а от изображения к оригиналу – символами
или .
Преобразованию Лапласа свойственно то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами f(t) соответствуют более простые соотношения и операции над их изображениями F(р).
Приведем основные правила для преобразования Лапласа, устанавливающих соответствие между операциями над оригиналами и операциями над их изображениями.