- •Тема 5. Уравнения прямой и плоскости.
- •1. Общее уравнение прямой. Общее уравнение плоскости.
- •2. Другие виды уравнений прямой и плоскости.
- •3. Уравнения прямой в пространстве.
- •4. Основные задачи на прямую и плоскость в .
- •5. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение плоскостей в линейном пространстве.
- •Тема 6. Линейные операторы.
- •1. Взаимно однозначные отображения.
- •2. Линейные операторы.
- •3. Матрица линейного оператора.
- •4. Ядро и образ линейного оператора.
- •5. Линейное пространство операторов.
- •6. Умножение линейных операторов.
- •7. Невырожденные операторы. Обратный оператор.
- •8. Ограниченность линейного оператора в конечномерных нормированных пространствах.
- •9. Норма линейного оператора.
4. Основные задачи на прямую и плоскость в .
Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости .
Ответ: .
Задача 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой .
Ответ: .
Задача 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и через данную точку , не лежащую на этой прямой.
Ответ: .
Задача 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой (две данные прямые не параллельны).
Ответ: .
Задача 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым , (две данные прямые не параллельны).
Ответ: .
Задача 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости (данная прямая и данная плоскость не перпендикулярны).
Ответ: .
Задача 7. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки и и перпендикулярной данной плоскости (прямая и данная плоскость не перпендикулярны).
Ответ: .
5. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение плоскостей в линейном пространстве.
Теорема 3. Пусть плоскость задана в общим уравнением , а прямая задана каноническими уравнениями . Прямая принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда и . Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда и . Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда .Угол между прямой и плоскостью определяется из уравнения , .
(Докажите самостоятельно.)
Напомним, что на плоскости возможны только три случая взаимного расположения двух прямых линий: обе прямые совпадают, пересекаются в одной точке, параллельны. В пространстве возможны следующие случаи взаимного расположения двух прямых: обе прямые совпадают, пересекаются в одной точке, параллельны, скрещиваются. Прямая и плоскость в могут пересекаться целиком по этой прямой, пересекаться в одной точке, быть параллельными. Две плоскости в либо совпадают, либо пересекаются по прямой линии, либо параллельны.
Рассмотрим теперь две плоскости и в линейном пространстве . Пусть и – их направляющие подпространства, , . Пересечение является подпространством в , размерность которого удовлетворяет неравенствам
(правое неравенство очевидно, а левое неравенство следует из того, что
– см. тему 2).
Предположим сначала ,что и имеют хотя бы одну общую точку: ( означает пустое множество). Если , т.е. , то и пересекаются в единственной точке. Если , то и пересекаются по прямой линии. Вообще, в рассматриваемом случае и пересекаются по некоторой плоскости размерности . В частности, если, например, , то пересечением и является вся плоскость . Если , то и .
Теперь рассмотрим случай, когда и не имеют общих точек: . Если одно из направляющих подпространств этих плоскостей принадлежит другому направляющему подпространству, то и параллельны. Если ни одно из этих направляющих подпространств не принадлежит целиком другому направляющему подпространству, то и скрещиваются.
Для выяснения взаимного расположения и зададим обе плоскости параметрическими уравнениями. Пусть – линейно независимые направляющие векторы плоскости ; они образуют базис ее направляющего подпространства: . Пусть – вектор сдвига подпространства .Тогда все точки плоскости имеют вид , где – независимо изменяющиеся параметры. Пусть – линейно независимые направляющие векторы плоскости ; . Пусть – вектор сдвига подпространства . Все точки плоскости имеют вид , где – независимо изменяющиеся параметры. Вопрос о существовании общих точек у плоскостей и сведен к вопросу о совместности системы линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных ,. Ответ на него дается теоремой Кронекера-Капелли (см. тему 3). Для нахождения надо найти число линейно независимых решений однородной системы уравнений
относительно тех же неизвестных (см. тему 3).