Тема 5. Уравнения прямой и плоскости.

Для задания и изучения свойств таких геометрических объектов как прямые и кривые линии (на плоскости или в пространстве), плоскости и другие поверхности используют метод координат. Основная идея метода координат состоит в том, что геометрические свойства изучаемых объектов выясняются при помощи алгебраических свойств уравнений, которыми эти объекты определяются. Если на плоскости задана некоторая система координат, то координаты точек прямой на этой плоскости не могут быть произвольными, а должны удовлетворять определенным соотношениям. Некоторым соотношениям должны удовлетворять и координаты точек плоскости, если в пространстве задана какая-либо система координат. Систему координат выбирают из соображений удобства описания изучаемого геометрического объекта и характера поставленной задачи. Прямые и плоскости можно задавать при помощи уравнений, записанных в любой системе координат. Но особенно простой вид эти уравнения имеют в аффинных системах координат. Еще более удобны для этой цели декартовы прямоугольные системы координат.

1. Общее уравнение прямой. Общее уравнение плоскости.

В следующей теореме 1 плоскость можно отождествить с евклидовым пространством . Фиксация декартовой прямоугольной системы координат означает выбор в некоторого ортонормированного базиса, в котором скалярное произведение направленных отрезков (векторов) равно сумме произведений их соответствующих координат. Свободные направленные отрезки называются коллинеарными, если они параллельны некоторой прямой линии или лежат на ней; для направленных отрезков и с общим началом в начале координат коллинеарность означает, что , , либо , .

Теорема 1. Пусть на плоскости фиксирована декартова прямоугольная система координат . Если ненулевой вектор перпендикулярен к прямой этой плоскости, то все точки прямой удовлетворяют уравнению вида , где – действительные числа. Всякое такое уравнение определяет относительно фиксированной системы координат некоторую прямую линию, если .

Доказательство. Все векторы, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные к прямой , коллинеарны вектору . Фиксируем произвольную точку на прямой . Для всех точек , и только для них, векторы и будут перпендикулярны, т.е. скалярное произведение . Это значит, что или , где . Обратно, если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то уравнение имеет хотя бы одно решение , . Вычитая из равенства равенство , получим , что означает перпендикулярность вектора и любого вектора , где , а координаты точки удовлетворяют уравнению .¨

Если прямая в теореме1 проходит через начало координат , то ее естественно отождествить с линейным подпространством в пространстве . Если прямая не проходит через , то найдется единственная прямая, параллельная и проходящая через ; ее следует рассматривать как направляющее подпространство для .

Теорема 2. Пусть в пространстве фиксирована декартова прямоугольная система координат . Если ненулевой вектор перпендикулярен к плоскости , то все точки плоскости удовлетворяют уравнению вида . Всякое такое уравнение определяет относительно фиксированной системы координат некоторую плоскость, если .

(Докажите самостоятельно.)

Проходящую через начало координат плоскость естественно отождествить с линейным подпространством в . Если плоскость не проходит через начало координат , то найдется единственная плоскость, параллельная и проходящая через ; ее следует рассматривать как направляющее подпространство для .

Уравнение , , называется общим уравнением прямой линии на плоскости, а вектор – нормальным вектором прямой. Уравнение , , называется общим уравнением плоскости в пространстве, а вектор - нормальным вектором плоскости.

Пусть – линейное подпространство конечномерного линейного пространства (). Фиксируем в произвольный вектор . Множество всех векторов вида , где , называется плоскостью размерности . Вектор называется вектором сдвига, а подпространство – направляющим подпространством. Любая плоскость порождается лишь одним направляющим подпространством, но вектор сдвига определяется плоскостью неоднозначно. Однако, если в линейном пространстве введено скалярное произведение, то любая плоскость имеет единственный вектор сдвига, ортогональный к направляющему подпространству. В пространстве плоскость размерности называется гиперплоскостью. Все векторы фиксированной гиперплоскости удовлетворяют уравнению , где – некоторый вектор сдвига направляющего подпространства , а – любой ненулевой вектор одномерного подпространства, ортогонального к . Если положить , то уравнение гиперплоскости будет иметь вид. Именно такой вид имеют общие уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве.