69. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью тригонометрических подстановок.

Интегрирование выражений R(sinx, cosx)

Пусть  R(u,v) — рациональная функция двух переменных. Положим u = sin< var>x  и   v = cos x . Получится функция f(x) = R(sin x, cos x) . Она имеет период 2π . Поэтому ее первообразные достаточно найти на интервале ( −π, π) .

Интеграл от функции R(sinx, cosx) с помощью подстановки

x = 2arctg t    t = tg x/2         x О (−π, π)     t О ( −∞, +∞) (1)

всегда приводится к интегралу от рациональной функции переменной t. Поэтому он выражается через элементарные функции .

Действительно, подставляя в подынтегральное выражение

sin x = sin(2arctg t) = , cos x = cos(2arctg t) =, dx = d(2arctg t) =

получаем R (sinx, cosx)  dx   =   R,,=

Подстановка (1) называется универсальной.

Интегрирование выражений  

Интегралы вида ∫ dx,

 где m и n — натуральные числа, находятся с использованием формул понижения степени:

, ,

Эти формулы могут применяться многократно, пока подынтегральное выражение содержит степени тригонометрических функций и их произведения.

III. Интегрирование выражений вида sin (αx) · sin (βx) ,     sin (αx) · cos (βx) ,     cos (αx) · cos (βx)  .

При интегрировании этих выражений используются тригонометрические формулы:

sin (αx) · sin(βx)   =  

sin (αx) · cos (βx)   =  

cos (αx) · cos (βx)   =  

Эти формулы могут применяться многократно, пока подынтегральное выражение содержит произведения тригонометрических функций.

70. Интегрирование простейших иррациональных функций.

Рассмотрим интеграл

— целые числа. Замена вида

где к — общий знаменательприводит к интегралу от рациональной функции

Замечание. рассмотрены классы интегрируемых функций. Но можно привести многочисленные примеры интегралов от элементарных функций, которые существуют, но не выражаются через элементарные функции. Например,

— интеграл Пуассона,

— интегральный синус,

— интегральный косинус,

Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида  вычисляются заменой или .

Интегралы вида  вычисляются заменой  или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

71. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида где n- натуральное число.

С помощью подстановки   функция рационализируется.

Тогда

  Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.