1.3. Проводимости и их связь с сопротивлениями

В случае параллельного соединения при математическом анализе цепи приходится оперировать понятиями проводимостей. Поэтому необходимо установить эти понятия, а также найти связь между сопротивлениями и проводимостями.

Для цепи (рис. 1.1) с полным сопротивлением величина

,

называется полной (или кажущейся) проводимостью и имеет размерность (1/Ом).

Если ток отстает по фазе от напряжения (рис. 1.2, а), то на векторной диаграмме вектор тока I повернут на угол φ относительно вектора напряжения U (рис. 1.3) по часовой стрелке.

Рис. 1. 3. Векторная диаграмма тока и напряжения для случая отставания тока по фазе от напряжения

Разложим вектор тока I на две составляющие (рис. 1.3): активную Iа, совпадающую с вектором напряжения U, и реактивную составляющую Iр, направленную перпендикулярно вектору. Получается прямоугольный треугольник со сторонами, пропорциональными действующим значениям тока и его активной и реактивной составляющих.

Из этого треугольника получаем:

,

,

где: - активная проводимость;

- реактивная проводимость;

- реактивная индуктивная проводимость;

- реактивная емкостная проводимость.

Из векторной диаграммы (рис. 1.3) следует, что:

или

или

.

Таким образом, полная проводимость цепи равна геометрической сумме активной и реактивной проводимостей.

Из векторной диаграммы (рис. 1.3) вытекают также следующие соотношения:

,

.

1.4 Общий случай разветвленной цепи

Для цепи, изображенной на рис. 1.4, на основании первого закона Кирхгофа для действующих значений токов можно записать

,

Рис. 1. 4. Общий случай разветвлённой цепи

где: - ток первой ветви;

- ток второй ветви.

На рис. 1.5 представлена векторная диаграмма для приведенной схемы.

Рис. 1. 5. Векторная диаграмма токов и напряжений для общего случая разветвлённой цепи

Векторная диаграмма строилась в следующей последовательности:

1. за исходный вектор принимаем вектор напряжения на зажимах цепи, т.к. оно является общим для параллельных ветвей;

2. под углом φ₁=arccos φ₁ по часовой стрелке относительно вектора U (т.к. ток в первой ветви носит активно-индуктивный характер и отстает по фазе от напряжения) строим вектор тока I₁;

3. под углом φ₂=arccos φ₂ против часовой стрелки относительно вектора U (т.к. ток во второй ветви носит активно-емкостный характер и опережает по фазе напряжение) строим вектор тока I₂;

4. строим вектор тока в неразветвленной части цепи, как геометрическую сумму векторов токов I₁ и I₂ (диагональ параллелограмма, построенного на векторах I₁ и I₂).

Для аналитического сложения векторов необходимо их разложить на активные и реактивные составляющие. Анализируя векторную диаграмму после разложения векторов, легко заметить, что:

• активная составляющая тока в неразветвленной части цепи равна арифметической сумме активных составляющих токов в параллельных ветвях

, (1.2)

• реактивная составляющая тока в неразветвленной части цепи равна алгебраической сумме реактивных составляющих токов в параллельных ветвях

, (1.3)

• полный ток в неразветвленной части цепи равен геометрической сумме полных токов в параллельных ветвях

, (1.4)

Подставив в (1.2 – 1.3) значения активных и реактивных составляющих токов в параллельных ветвях получим:

,

где: - эквивалентная активная проводимость всей цепи, равная арифметической сумме активных проводимостей параллельных ветвей.

,

где: - эквивалентная реактивная проводимость всей цепи, равная алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельных ветвей.

Учитывая, что

I=U∙y,

и c учетом (1.4) получим:

,

т.е. эквивалентная полная проводимость всей цепи равна геометрической сумме активных и реактивных проводимостей всей цепи.

Коэффициент мощности всей цепи можно определить по формуле:

.

Умножив вектора токов векторной диаграммы на U, получим:

• активная мощность всей цепи равна арифметической сумме активных мощностей параллельных ветвей:

; (1.5)

• реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей параллельных ветвей:

, (1.6)

Если Q>0, то вся цепь будет иметь активно-индуктивный характер, если Q<0 - активно-емкостный характер;

• полная (кажущаяся) мощность всей цепи равна геометрической сумме активной и реактивной мощностей всей цепи:

.

Выражения (1.5) и (1.6) носят названия баланса активных и реактивных мощностей.