Теория потребительского спроса

№ порции	Полезность (ютил)
	Благо А	Благо В	Благо С
I	45	80	20
II	38	72	16
III	32	64	10
IV	25	55	8
V	20	45	4

№21. Известна таблица полезности Кирилла, потребляющего три вида благ, его бюджет M = 142 и цены: P_A = 10 P_B = 18 P_C = 4. Кирилл решил обязательно купить 4 ед. блага А. Сколько каждого из двух других благ должен купить Кирилл, чтобы получить максимум полезности? И какова будет максимальная полезность(в ютилах)?

№22. При ценах Р_А = 4; Р_В = 2 линия «доход – потребление» Константина имеет следующий алгебраический вид: . Выведите уравнение кривой Энгеля, характеризующее потребление Константином блага А.

№ 23. Бюджет Максима, равный 21 ден. ед., предназначен для покупки двух благ (А и В). Его предпочтения относительно этих благ выражаются функцией полезности

.

При ценах Р_А = 9; Р_В = 1 Максим купил 2 ед. блага А и 3 ед. блага В.

1. Оптимально ли Максим израсходовал бюджет?

2. Какой ассортимент благ обеспечит Максиму максимум полезности, если его бюджет снизится до 13,5 ден. ед.?

3. Как изменятся объемы покупок Максима, если при исходном бюджете цена блага В снизится до 9/16 ден. ед.?

4. На основе проведенного наблюдения за поведением потребителя дать характеристику благам, поставив крестики в нужные клетки приведенной ниже таблицы.

Благо	Взаимоза­­меняемое	Взаимодопол­няемое	Нормальное	«Некачественное»	«Благо Гиффена»
А
В

№ 24. Предельная полезность масла для индивида отображается функцией MU_M = 115 – 5Q_M, а предельная полезность хлеба MU_X = 40 – Q_X. Известны цены благ и бюджет индивида – P_M = 10; P_X = 1; М = 60. Какое количество каждого из благ должен купить индивид для максимизации общей полезности?

№25. Результаты наблюдения за поведением потребителя на рынке представлены в таблице

Наблюдение	M	PA	PB	QA	QB
I	84	4	5	8	10,4
II	81	6	3	8	11
III	77	8	2	8	6,5

1. Можно ли по этим результатом признать потребителя максимизирующим, если его предпочтения в момент наблюдения не менялись?

2. Ответьте на этот же вопрос при условии, что при наблюдении II индивид купил по 9 ед. обоих благ.

№26. Функция полезности индивида имеет вид U = (Q_A – 4)(Q_B – 6), его бюджет M = 64, а цены благ P_A = 1, P_B = 1,5.

1) Разложите реакцию индивида при удвоении цены блага B на эффекты замены и дохода.

2) Определите разность между компенсирующим и эквивалентным изменениями дохода по Хиксу.

3) Какой набор благ покупал бы индивид при компенсации дохода по Слуцкому?

№27. Известны функция полезности индивида U = (Q_A – 4)^0,5Q_B^0,25, его бюджет М = 120 и цены благ Р_А = 3; Р_В = 1. Сколько денег нужно доплатить индивиду в случае повышения цены блага В до Р_В = 8, чтобы его благосостояние (общая полезность) не изменилось?

№28. Потребитель с бюджетом 360 ден. ед. при заданных ценах полностью израсходует бюджет, если купит либо 8 ед. блага А и 10 ед. блага В, либо 10 ед. блага А и 5 ед. блага B. Какое количество блага B следует купить данному потребителю для максимизации своей функции полезности U = Q_A^0,25Q_B^0,5?

№29. Бюджет Глеба равен 200 ден. ед. При Р_А = 5 его линия «цена-потребление» отображается формулой Q_A = Q_B + 4. Насколько единиц Глеб увеличит потребление каждого блага при снижении цены блага В с 5 до 4 ден. ед?

№30. Потребитель с линейной функцией спроса покупает 40 ед. товара по цене Р = 10; при этом его эластичность спроса по цене e^D = – 2. Определите излишки потребителя.

№31. Для полного удовлетворения потребности в благе Х Маше требуется 12 ед., а Даше – 40 ед. этого блага. Маша покупает его только при Р < 36, а Даша – при Р < 24. При какой цене обе девочки купят одинаковое количество блага Х, если известно, что их функции спроса линейны?

№32. Известна функция полезности потребителя: и его бюджет М = 120 ден. ед. Потребитель обнаружил, что при сложившихся ценах он может купить либо набор Q_A = 28; Q_B = 4, либо набор Q_A = 26; Q_B = 8 и еще различные сочетания обоих благ. Сколько единиц каждого из благ следует купить этому потребителю для максимизации полезности ?

№33. Функция спроса потребителя Q^D = 160 – 4P. При какой цене эластичность его спроса по цене будет равна (–3)?

№34. Потребитель в состоянии равновесия покупает в полтора раза больше товара А, чем товара В, хотя товар А вдвое дороже, чем товар В. Определите предельную норму замещения товара В товаром А у этого потребителя.

№35. При бюджете М = 200 потребитель покупает два товара А и В. В состоянии равновесия он покупает 70 ед. товара А по цене Р_А = 2, и при этом его предельная норма замещения товара А товаром В равна –2. Сколько ед. товара В покупает этот потребитель?

№36. Бабушка хочет продать 40 кг. клубники. У нее есть три покупателя со следующими функциями спроса: q^D₁ = 80 – P; q^D₂ = 60 – 2P; q^D₃ = 50 – P, но, в отличии от Вас, она их не знает. Поэтому бабушка называет цену и, когда совокупный объем спроса трех покупателей становится равным 40, она продает свой товар. По какой цене будет продана клубника?

№37. Предпочтения индивида относительно двух благ, одно из которых является предметом роскоши, а второе предметом первой необходимости, отображается функцией

.

Определите по функциям спроса индивида, какое из этих благ является предметом роскоши?

№38. При бюджете 3300 ден. ед. предпочтения индивида относительно услуг телефонной связи (Т) и всех прочих благ, представленных оставшимися после оплаты телефонных услуг деньгами (М), отображается функцией U = T^0,1M^0,9. Телефонный узел предлагает два варианта оплаты его услуг: 1) тариф P_Т,0 = 4 за час связи; 2) тариф P_Т,1 = 2 за час связи плюс ежемесячная абонентская плата А ден. ед. Цена денег P_М = 1. При какой величине абонентской платы оба варианта оплаты телефонной связи будут для индивида равнозначны?

№ 39. При цене 1 кг яблок 18 ден. ед. на рынке было три покупателя: их функции спроса по цене были прямолинейными. Первый купил 20 кг при эластичности спроса по цене –2; второй — 16 кг при –1,5 и третий — 24 кг при –2,5. Определите эластичность рыночного спроса по цене.

№40. На рынке имеются три покупателя со следующими функциями спроса:

Определите эластичность рыночного спроса по цене (абсолютное значение), когда на рынке продается 6 ед. товара.

Решение задач

Теория производства и предложения благ.

№1.

1. Коэффициент эластичности выпуска _Q,L = MP_L/AP_L = 1.

2. Понятия средней и предельной производительности факторов относятся только к короткому периоду. Поскольку в условиях задачи меняется количество используемого труда, то K = const; средняя производительность капитала (Q/K) по мере роста L будет увеличиваться, пока MP_L > 0.

№2.

Условие равновесия фирмы следующее:

Отсюда

№3.

1а) Функция от одной переменной достигает максимума, когда ее производная равна нулю. С учетом того, что L > 0, получаем:

.

1б) Предельная производительность труда достигает максимума при 10 = 3L  L = 10/3.

1в) Средняя производительность труда достигает максимума при L = 5.

2) По определению . При L = 5 средняя и предельная производительности равны 62,5; следовательно 1.

№4. 1 при AP_L = MP_L. 2 + 8L – L² = 2 + 16L – 3L²  L = 4; Q = 72.

№5.

При технологии с постоянной отдачей от масштаба объем выпуска продукции равен сумме произведений предельной производительности фактора на его количество: .

Следовательно: 80 = 220 + 4MP_K  MP_K = 4.

№6.

1. Из условия равновесия фирмы следует, что

В соответствии с бюджетным ограничением

Отсюда

2а. Из условия равновесия фирмы следует, что капиталовооруженность труда не зависит от бюджета фирмы.

2б. Капиталовооруженность труда возрастет в 1,5 раза.

№7.

При заданной технологии . Поэтому

. Минимум АС определяется из условия

.

АС_min = 512/256 + 48/8 = 8.

№8.

P = MC; AC = k/Q + vQ. AC = – k/Q² + v = 0  Q = (k/v)^0,5; MC = 2vQ;

P = 2v(k/v)^0,5 = 2(vk)^0,5.

№9.

а) Условие равновесия фирмы: .

В соответствии с технологией: .

Следовательно: . Тогда .

Из условия максимизации прибыли следует .

б) LTC = 820² = 3200; в) LAC = 3200/20 = 160; г) LMC = 1620 = 320; д) L = 2400 = 800;

е) K = 0,5400 = 200; ж) 20320 – 3200 = 3200.

№10.

1а. .

1б. .

2а.  = 203 – 8 – 83 – 29 = 10.

2б.  = 203 – 83 – 29 = 18.

3. .

№11.

В соответствии с рис. 2.29 e^S = 30/(30 – 20) = 3.

№12.

MRTS_LK = w/r  w = rMRTS_LK = 52 = 10. 1200 – 5100 = 10L  L = 70.

№13.

;

AVC = 40100/400 = 10. MC = 100/5 = 20. MC – AVC = 10.

№14.

1)

2) При заданной производственной функции функция предложения фирмы имеет вид (см. разд. 2.4.):

.

Обозначив сомножитель перед Р буквой с, рассчитаем коэффициент эластичности предложения:

.

№15.

Выведем функцию предложения 1-й фирмы:

.

Соответственно, 2-й фирмы:

.

Объемы предложения будут одинаковыми при 100Р² = 1800Р  Р = 18.

№16.

Выведем функцию общих затрат 1-й фирмы с учетом налога:

.

Ей соответствует следующая функция предложения:

.

Приращение выручки: 6(4,56 – 18) – 5(4,55 – 18) = 31,5.

№17.

MC = 10 +2Q; По цене Р = 20 будет продано 10 +2Q = 20  Q = 5. Следовательно, излишки производителя (20 – 10)5/2 = 25.

№18. . Обозначим сомножитель перед Q буквой c и из условия максимизации прибыли выведем функцию предложения: cQ^1/3 = P  Q^S = (P/c)³.

.

№19. В соответствии с логикой решения задачи № 17

MC₁ = 10 + 8q₁ = P  . MC₂ = 15 + 4q₂ = P  .

. При Р = 40 Q = 10. e^S = .

№20.

В заданных условиях функция отраслевого предложения имеет вид

Будет куплено 25,5 ед. товара, если Р = 4,5. Так как на этом участке кривой отраслевого предложения dQ/dP = 7, то e^S = 7 4,5/25,5 = 1,235.

__________________________________________________________________________

Теория потребительского спроса

№21.

Так как u_A/P_A = 25/10 = 2,5, то по 2-му закону Госсена и по другим благам отношение предельной полезности к цене должно равняться 2,5. Следовательно, нужно купить Q_B = 5; Q_C = 3. Тогда

u_B/P_B = 45/18 = 2,5; u_C/P_C = 10/4 = 2,5. Следовательно max полезность будет равна 502 ют.

№22.

Решим уравнение линии «доход – потребление» относительно Q_B и подставим результат в бюджетное уравнение:

Поскольку кривая Энгеля отображает зависимость объема спроса на благо от величины дохода (бюджета) индивида, то Q_A = 1 + 0,2M.

№23.

1. .

Условие равновесия

Подставим исходные объемы покупок , следовательно, максим относительно израсходовал свой бюджет.

2.Условие равновесия

Из бюджетного уравнения находим

т.е. при сокращении бюджета потребление блага А снизилось, а блага В возросло; следовательно благо В «некачественное».

3. Бюджетное уравнение в условиях равновесия потребителя принимает вид

Таким образом, при снижении цены блага В его потребление возросло, а потребление блага А сократилось. Следовательно, благо В хоть и «некачественное», но не «благо Гиффена».

4.

Благо	Взаимоза­­меняемое	Взаимодопол­няемое	Нормальное	«Некачественное»	«Благо Гиффена»
А	+		+
В	+			+

№24.

Потребитель получит максимум полезности, если так распределит свой бюджет M = P_XQ_X + P_YQ_Y, что MU_X/P_X = MU_Y/P_Y. В условиях задачи получаем следующую систему из двух уравнений:

№25.

1. Да. Из приведенной ниже таблицы стоимости корзин при различных системах цен следует, что в момент первой покупки потребитель предпочел корзину I корзине III. При второй покупке он мог выбрать любую из них, но предпочел корзину II, которая не была ему доступна при первой покупке. При третьей покупке он выбрал единственно доступную.

РА	РВ	I (8; 10,4)	II (8; 11)	III (8; 6,5)
4	5	84	87	64,5
6	3	79,2	81	67,5
8	2	84,8	86	77

2. Нет. Из приведенной ниже таблицы стоимости корзин при различных системах цен видно, что в момент первой покупки потребитель предпочел корзину I всем другим, а при второй —корзину II корзине I.

РА	РВ	I (8; 10,4)	II (8; 11)	III (8; 6,5)
4	5	84	81	64,5
6	3	79,2	81	67,5
8	2	84,8	90	77

№26.

1) Исходное равновесие индивида определяется из решения системы уравнений:

Уравнение исходной кривой безразличия:

.

Равновесие потребителя после повышения цены на благо В:

Для выделения эффекта замены найдем точку касания прямой, параллельной новой бюджетной линии, с исходной кривой безразличия, опираясь на то, что в точке касания обе линии имеют одинаковый наклон:

; .

Следовательно, эффект замены:

Q_A = 40,125 – 29,5 = 10,625; Q_В = 18 – 23 = –5,

а эффект дохода:

Q_A = 25 – 40,125 = –15,125; Q_В = 13 – 18 = –5.

2) Для обеспечения исходного благосостояния индивида при новых ценах нужно иметь (140,125 + 318) = 94,125 (см. эффект замены), поэтому компенсирующее изменение дохода составит (94,125 – 64) = 30,125.

Для определения эквивалентного изменения дохода найдем координаты точки касания новой кривой безразличия с прямой, параллельной исходной бюджетной линии. Поскольку U₁ = 147, то

При исходных ценах такой набор благ можно купить за (118,85 + 1,515,9) = 42,7; поэтому эквивалентное изменение дохода равно (64 – 42,7) = 21,3. Разность между компенсирующим и эквивалентным изменениями дохода: (30,125 – 21,3) = 8,825.

3) После компенсации по Слуцкому доход индивида будет равен 29,5 + 323 = 98,5. Набор покупаемых им при таком доходе благ определяется из решения системы уравнений:

Наглядно результаты решения задачи представлены на рис. (рис. к зд 26)

№27. Нужно найти в какой точке исходная кривая безразличия имеет наклон 8/3. Из уравнения функции полезности выводим уравнение исходной кривой безразличия:

. Наклон это производная поэтому .

По абсолютной величине эта производная должна равняться соотношению цен после повышения цены блага В.

Для определения U₀ найдем объемы покупок до повышения цены.

.

Теперь подставим:

.

.

Для покупки такой корзины нужно 352+89 = 228. Следовательно, бюджет нужно увеличить на 108 ден. ед.

№28.

Найдем цены из системы уравнений 8Р_А + 10Р_В = 360; 10Р_А + 5Р_В = 360Р_А = 30; Р_В = 12.

При этих ценах товар В нужно покупать в количестве

№29.

Ассортимент потребляемых благ определяется точкой пересечения бюджетной линии с линией «цена – потребление» (точкой касания бюджетной линии с кривой безразличия).

Поэтому нужно два раза (при каждой цене блага В) решить систему из уравнений названных линий.

 Q_A = Q_B = 2.

№30.

По данным задачи рассчитаем коэффициенты линейной функции спроса Q^D = a – bP:

b = 240/10 = 8; a = 403 = 120. Следовательно, Q^D = 120 – 8P. Излишек: 20(15 – 10) = 100.

№31.

Из условия задачи следует, что: 1) коэффициент а в функции спроса Маши равен 12, а в функции спроса Даши 40; 2) отношение a/b в функции спроса Маши 36, в функции спроса Даши 24. Следовательно, коэффициенты b соответственно равны 1/3 и 5/3. Поэтому функция спроса Маши Q^D = 12 – P/3, а Даши Q^D = 40 – 5P/3. Объемы спроса равны при 12 – P/3 = 40 – 5P/3  Р = 21.

№32.

Определим цены и подставим их в соответствующие данной функции полезности функции спроса:

№33.

По формуле коэффициента эластичности спроса по цене определим цену:

№34.

В состояние равновесия MRS_AB = P_A/P_B, следовательно равна 2.

№35.

Поскольку MRS_BA = P_B/P_A = 2, то Р_В = 4. Следовательно, .

№36

Запишем функцию рыночного спроса в виде функции цены спроса:

При Q = 40 получаем Р = 65 – 40/2 = 45.

№37

Выведем функции спроса индивида на эти блага.

Условие равновесия потребителя:

;

Подставим в бюджетное уравнение:

.

Поскольку объем спроса на товар X не зависит от цены товара Y, то товар Х является предметом первой необходимости, а товар Y – предметом роскоши.

№38

Определим спрос на оба блага и полезность по каждому варианту оплаты услуг.

Без абонентской платы:

.

С абонентской платой:

Условие равнозначности:

.

№39

Общий вид линейной функции спроса следующий Q = a – bP. По определению e^D = bP/Q^D. Поэтому коэффициент b в функции спроса первого покупателя равен 40/18 = 2,2, второго – 24/18 = 1,3 и третьего – 60/18 = 3,3. Тогда коэффициенты a = Q^D(1 + e^D ) соответственно составляют: 20 + 40 = 60; 16 + 24 = 40; 24 + 60 = 84. Следовательно,

А рыночный спрос

Если P = 18, то Q = 60, а e^D = (62/9)(18/60) = 2,07.

№40.

Для определения интервалов цен, соответствующих различным наклонам кривой рыночного спроса, перейдем от индивидуальных функций спроса к индивидуальным функциям цены спроса:

Следовательно, в интервале 10 < P  16 рыночный спрос представлен спросом покупателя III; в интервале 6 < P  10 рыночный спрос равен сумме спросов II и III покупателей и в интервале 0 < P  6 – сумме спроса всех трех покупателей:

Отсюда видно, что 6 ед. товара будет продано по цене Р = 8; тогда e^D = –1,58/6 = – 2.