10.6. Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные (рис. 10.11), горизонтальные (рис.10.12) и наклонные (рис. 10.13).ВСТАВИТЬ

Нахождение асимптот графика основано на следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму точку ) и хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Очевидно, что прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке , т.к. в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.

Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции . Тогда прямая является горизонтальной асимптотой графика функции .

Замечание. Если конечен только один из пределов или , то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы функции и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Наклонная асимптота, так же как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

Пример 10.12. Найдем асимптоты графика функции

. Функция не определена в точке . Вычислим пределы функции при : . Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой.

Пример 10.13. Найдем асимптоты графика функции

. Очевидно, график функции не имеет вертикальных асимптот (нет точек разрыва). Вычислим пределы функции при : . Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой.

Пример 10.14. Найдем асимптоты графика функции

. Очевидно, график функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных асимптот, т.к. . Найдем наклонную асимптоту:

;

.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой.

10.7. Общая схема исследования функций и построение их графиков

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти вертикальные асимптоты.

5. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

6. Найти интервалы монотонности функции и экстремумы.

7. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

8. Построить график функции.

Пример 10.15. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции – вся числовая ось, т.е. .

2. , т.е. функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение . Решаем:

Поскольку дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, других точек пересечения нет. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение ; получаем ту же точку.

4. Функция определена на всей числовой оси, следовательно, точек разрыва нет, т.е. нет и вертикальных асимптот.

5. Исследуем поведение функции в бесконечности: . График функции горизонтальных асимптот не имеет. Найдем наклонные асимптоты.

, следовательно, наклонных асимптот график функции также не имеет.

6. Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Вычислим . Производная функции определена на всей числовой оси; в точках и . Поскольку при , а при и при (рис. 10.14) ВСТАВИТЬ, то - точка минимума функции и . В точке производная функции знак не меняет, следовательно, эта точка не является точкой экстремума. На интервале функция убывает, на интервале функция возрастает.

7. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба. Вычислим . Вторая производная функции в точках и .Очевидно, что на интервалах и , следовательно, на этих интервалах функция вогнута; на интервале , на этом интервале функция выпукла (рис. 10.15) ВСТАВИТЬ. Точки и являются точками перегиба. Значения функции в этих точках и .

8. График функции изображен на рис. 10.16. ВСТАВИТЬ

Пример 10.16. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции , т.е. .

2. , т.е. функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение . Решаем:

График функции пересекает ось в точке (1;0). Находим точки пересечения с осью , ее уравнение ; получаем Точка пересечения с осью (0;-1).

4. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точке . Находим односторонние пределы функции в этой точке:

.

, т.е. прямая является вертикальной асимптотой.

5. Исследуем поведение функции в бесконечности:

, . График функции горизонтальных асимптот не имеет. Найдем наклонные асимптоты.

;

, следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика функции.

6. Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Вычислим Производная функции не существует в точке , которая не является критической, т.к. не принадлежит области определения функциии; в точках и . Поскольку при , а при и при (рис. 10.17) ВСТАВИТЬ, то точка - точка максимума функции и . В точке производная функции знак не меняет, следовательно, эта точка не является точкой экстремума. На интервале функция убывает, на интервалах и функция возрастает.

7. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба. Вычислим

Вторая производная функции не существует в точке , которая не принадлежит области определения функциии; в точке . Очевидно, что на интервалах и , следовательно, на этих интервалах функция выпукла; на интервале , на этом интервале функция вогнута (рис. 10.18) ВСТАВИТЬ. Точка является точкой перегиба. Значение функции в этой точке .

9. График функции изображен на рис. 10.19. ВСТАВИТЬ

УПРАЖНЕНИЯ

Найти предел функции

10.17. . 10.18. . 10.19. . 10.20. . 10.21. . 10.22. . 10.23. . 10.24. . 10.25. . 10.26. . 10.27. . 10+.28. . 10.29. . 10.30. . 10.31. . 10.32. . 10.33. . 10.34. . 10.35. . 10.36. . 10.37. .

Найти интервалы монотонности и экстремумы функций

10.38. . 10.39. . 10.40. . 10.41. . 10.42. . 10.43. . 10.44. . 10.45. .

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

10.46. , . 10.47. , . 10.48. , . 10.49. , . 10.50. Требуется выделить прямоугольную площадку земли площадью 512м², огородить ее забором и разделить загородкой на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на постройку заборов пошло наименьшее количество материалов?

10.51. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При заданном периметре окна Р найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.

10.52. Решеткой длиной 180 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры площадки.

10.53. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функций

10.54. . 10.55. . 10.56. . 10.57. . 10.58. . 10.59. .

Найти асимптоты графиков функций

10.60. . 10.61. . 10.62. . 10.63. . 10.64. . 10.65. . 10.66. . 10.67. . 10.68. . 10.69. . 10.70. . 10.71. . 10.72. .

Исследовать функции и построить их графики

10.73. . 10.74. . 10.75. .

10.76. . 10.77. . 10.78. . 10.79. .

О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М