- •Высшая математика
- •614990 Пермь, ул. Букирева, 15
- •Предисловие
- •Раздел 1 основы теории множеств
- •Глава 1. Множества
- •1.1. Понятие множества
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Подмножество
- •1.4. Дополнение к множеству
- •1.5. Разбиение множества
- •Глава 1
- •Раздел 2 элементы линейной алгебры
- •Глава 2. Определители
- •Понятие определителя
- •Вычисление определителей
- •2.3. Основные свойства определителей
- •Глава 2
- •Глава 3. Матрицы
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Действия над матрицами
- •3.3. Обратная матрица
- •Глава 3
- •Глава 4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Основные понятия и определения
- •4.2. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •4.3. Правило Крамера
- •4.4. Метод Гаусса
- •Глава 4
-
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИйской федерации
ГОУ ВПО «Пермский государственный университет»
Кафедра высшей математики
Высшая математика
Учебное пособие с заданиями для самостоятельной работы
Пермь 2007
Составитель: ст. преп. Л.С. Старостина
УДК 517.0
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Учеб. пособие с заданиями для самост. работы: В 2-х ч. Ч. 1/ Перм. ун-т; Сост. Л.С. Старостина. – Пермь, 2007. – ХХХ с.
Составлено в соответствии с учебной программой курса «Математика» для студентов дневного и заочного отделения философско-социологического факультета.
Предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов.
Печатается по постановлению методической комиссии механико-математического факультета Пермского университета.
Редактор Г.А.Гусман
Корректор К.Н.Бобкова
Подписано в печать 9.03.2005. Формат 60х84 1/16.
Бум. офс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,09.
Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 300 экз. Заказ
Редакционно-издательский отдел Пермского университета
614990 Пермь, ул. Букирева, 15
Типография Пермского университета
614990 Пермь, ул. Букирева, 15
Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит.
М.В. Ломоносов
Предисловие
Математика является необходимой частью образования студентов философско-социологического факультета.
Изучение математики:
-
помогает понимать основы современной математики;
-
помогает укреплению основ логического мышления;
-
дает знания, необходимые для самостоятельного изучения и разработки количественных аспектов гуманитарных проблем.
Данное учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по специальности “Социология”, “Психология”, “Философия”. Оно соответствует программе дисциплины “Математика” и включает следующие разделы: “Основы теории множеств”, “Элементы линейной алгебры”, “Элементы аналитической геометрии”, “Элементы математического анализа”, “Основы дифференциального исчисления”, “Основы интегрального исчисления”, “Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, “Функция нескольких переменных”, “Ряды”, “Элементы теории вероятности и математической статистики”. Учебное пособие может использоваться студентами других гуманитарных специальностей, например, исторического, филологического и др. факультетов вузов.
Учебное пособие рассчитано на уровень подготовки студентов 1 курса и практически не требует дополнительной информации. Теоретический материал всюду, где возможно, сопровождается наглядными иллюстрациями и многочисленными практическими примерами. В конце каждой главы в рубрике “Упражнения ” даются задачи, ответы к которым приведены в конце книги. Нумерация задач единая – начинается в основном тексте главы и продолжается в этой рубрике.
Раздел 1 основы теории множеств
Глава 1. Множества
1.1. Понятие множества
Понятие множества – одно из основных первичных понятий современной математики, поэтому оно не имеет формального определения. Оно возникло как абстракция того факта, что предметы и явления материального мира существуют не изолированно, а в составе совокупностей. Можно говорить о множестве студентов в аудитории, множестве точек на плоскости, множестве рациональных чисел и т.д.
Каждое множество состоит из элементов. В зависимости от числа элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Например, множество натуральных чисел содержит бесконечное число элементов, а множество сторон многоугольника состоит из конечного числа элементов. Конечные множества могут состоять из одного или нескольких элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком Ø.
Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например: . Элементы множеств обозначаются строчными латинскими буквами, например: a, b, c, …,x. Для записи множества используют фигурные скобки, а элементы множества отделяют друг от друга запятыми (точками с запятой).
Пример 1.1. – конечное множество натуральных делителей числа 12.
Пример 1.2. – конечное множество, состоящее из четырех букв f, g, h и q.
Пример 1.3. – бесконечное множество натуральных чисел.
Пример 1.4. Пустым является множество действительных корней уравнения .
Задать множество – значит указать каким-либо способом, из каких элементов оно состоит. Можно задать множество перечислением всех его элементов, как в вышеуказанных примерах, или указать общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Пример 1.5. W – множество всех белых медведей.
Пример 1.6. U – множество всех целых чисел, делящихся на 3 без остатка: .
Говоря об определенном множестве, мы предполагаем, что каждый объект x либо входит в рассматриваемое множество, либо не входит в него. То обстоятельство, что объект x принадлежит множеству A, обозначается знаком . Запись означает, что x не является элементом A.
Элементы, из которых состоит данное множество, сами могут быть множествами. Например, множество студентов дневного отделения философско-социологического факультета состоит из трех элементов: группа социологов, группа философов и группа психологов; в свою очередь, каждая группа является множеством студентов.
Два множества A и B называются равными, если каждый элемент множества A является элементом множества B и, наоборот, каждый элемент множества B является элементом множества A.
Пример 1.7. , B – множество корней уравнения . Эти множества равны.