-
III. Ряд Фурье для четного и для нечетного продолжения
Если функция
задана первоначально на промежутке
,
то, продолжая ее четным образом на
промежуток
,
то есть полагая (рис.7):
Рис. 7.
приходим к четной функции на симметричном промежутке. При этом для коэффициентов Фурье применимы формулы (47), более экономные в вычислительном отношении, чем общие формулы, поскольку коэффициенты при синусах заведомо равны нулю.
Если теперь окажется, что ряд Фурье
сходится на
,
и его сумма совпадает с
(достаточные условия для этого указаны
выше в п. 3.5), то при
построенный ряд Фурье будет давать
значения исходной функции
(совпадающей с
на этом промежутке).
-
Ряд Фурье для нечетного продолжения
Если первоначально заданную на
функцию
продолжать на
нечетным образом, полагая
(рис. 8),
Рис. 8.
то
для коэффициентов Фурье функции
применимы формулы (49)–(50).
Литература
Основная литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. 431 с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.1. — М.: Наука, 1978. 456 с; т. 2— М.: Наука, 1978. 576 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III. — М.: Физматгиз, 1963. 656 с.
Дополнительная литература
4. Ястребов М.Ю., Кузнецов В.О., Пижурина Н.Ф. Математический анализ. Конспект лекций для III семестра. СПб.: СПГУВК. 1999. 102 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………...3
Глава 1. Числовые ряды……………….………………..4
1.1. Сходимость числового ряда……………... …….……………4
1.2. Необходимый признак сходимости ряда.. …….……………6
1.3. Ряд, образованный геометрической прогрессией.. …….…..6
1.4. Остаток ряда……………………………….…….……………8
1.5. Арифметические свойства сходящихся рядов……....……...9
1.6. Ассоциативность сходящихся рядов………………...……...9
1.7. Признаки сравнения положительных рядов………….…...11
1.8. Радикальный признак сходимости Коши………….….…...14
1.9. Признак сходимости Даламбера…………..……….….…...14
1.10. Интегральный признак сходимости Коши……..…...…...14
1.11. Знакочередующиеся ряды………………………..…...…..14
1.12. Абсолютная и условная сходимость……………………..14
Глава 2. Степенные ряды……………………….……..4
2.1. Область сходимости функционального ряда……....……...9
2.2. Теорема Абеля для степенных рядов……….……....……...9
2.3. Радиус сходимости степенного ряда…….….……....……...9
2.4. Почленное дифференцирование степенного ряда…..…....9
2.5. Почленное интегрирование степенного ряда…..……….....9
2.6. Степенные ряды в окрестности произвольной точки.….....9
2.7. Коэффициенты Тейлора функции…..……………..…….....9
2.8. Ряд Тейлора функции…..…………………………..…….....9
2.9. Остаточный член ряда Тейлора………….….……..…….....9
2.10. Формула Тейлора…………….…………………....…….....9
2.11. Достаточное условие разложимости функции
в ряд Тейлора…………..…………….….………….…..…....9
2.12. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена......9
Глава 3. Ряды фурье………………………………….……..4
3.1. Ортогональные системы функций…….…….……....……...9
3.2. Ряд Фурье по ортогональной системе……….……....……..9
3.3. Ортогональная система гармоник…….….….……....……...9
3.4. Тригонометрический ряд Фурье……….………….…..…....9
3.5. Достаточное условие разложимости функции
в ряд Фурье…………….…….……….....………….…..…....9
3.6. Частные случаи ряда Фурье……………………….…..…....9