Глава 3. Ряды Фурье
Разложение функций в степенные ряды является эффективным, но ограниченным методом их исследования. Действительно, ряд Тейлора может иметь ограниченную область сходимости, и его сумма — бесконечно дифференцируемая функция, так что он не подходит для описания недифференцируемых функций, тем более — разрывных функций.
Функциональный
ряд Фурье дает новый инструмент
исследования процессов, описываемых
такими функциями. В нем в качестве
слагаемых участвуют тригонометрические
функции вида
,
с вещественными возрастающими значениями
,
и значит, с уменьшающимися периодами
.
3.1. Ортогональные системы функций
Определение. Функция
называется интегрируемой с
квадратом на отрезке
,
если на этом отрезке интегрируема
функция
.
Можно доказать, что в этом случае сама
также интегрируема на
.
Кроме того, если
и
интегрируемы с квадратом, то их
произведение
— интегрируемая функция.
Функции, рассматриваемые в данной главе,
будем предполагать интегрируемыми с
квадратом на отрезке
.
Определение. Две функции
и
называются ортогональными на отрезке
,
если
.
Замечание. Операция,
сопоставляющая функциям
и
интеграл от их произведения, обладает
всеми свойствами скалярного произведения
векторов. Поскольку для ненулевых
векторов равенство нулю скалярного
произведения равносильно их ортогональности,
то этим оправдывается соответствующая
терминология для функций.
Определение. Система функций
,
интегрируемых
с квадратом на отрезке
,
называется ортогональной
на этом отрезке,
если любые две различные функции этой
системы ортогональны.
3.2. Ряд Фурье по ортогональной системе
Пусть на отрезке
задана ортогональная система функций
.
Пусть,
далее, при всех
:
.
Предположим,
что для некоторой функции
при всех
имеет место равенство:
(39)
Умножая
это равенство на
,
получим:
.
(40)
Найдем
вид коэффициентов
в предположении, что функциональный
ряд (40) можно интегрировать почленно по
отрезку
.
Интегрируя, в силу ортогональности,
получаем:
.
Следовательно,
.
Определение. Коэффициентами
Фурье функции
на отрезке
по ортогональной системе
называются числа
.
(41)
Определение. Рядом Фурье функции
на отрезке
по ортогональной системе
называется функциональный ряд
,
коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье данной функции.
Если заранее не известно, что имеет
место разложение (39) и что почленное
интегрирование, осуществленное при
выводе формул (41), допустимо, то функция
может и не совпадать с суммой своего
ряда Фурье. Более того, этот ряд может
оказаться расходящимся на отрезке
или его части.
3.3. Ортогональная система гармоник
Определение. Гармониками
называются тригонометрические функции
с периодом
вида
(42)
( при
для синуса получилась бы функция,
тождественная равная нулю; гармоника-косинус
при
тождественно равна 1).
Непосредственным интегрированием проверяется
Теорема. Гармоники (42) образуют
ортогональную систему для любого отрезка
длины
.
Учитывая, что в формулах (41) для
коэффициентов Фурье участвуют интегралы
от квадратов функций ортогональной
системы, вычислим эти интегралы
(коэффициенты
)
для гармоник. Имеем:
;
.
(43)
Действительно,
Аналогично вычисляется интеграл от квадрата синуса. ■
В
дальнейшем всюду будем считать, что
,
если рассматривается отрезок
.