Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Львівський національний університет імені Івана Франка Економічний факультет

Кафедра

економічної кібернетики

Доповідь №2

з курсу "Моделювання системних характеристик в економіці" на тему:

«Шляхи зниження ентропії в задачах планування»

Виконали:

Дух Володимир Ігорович

Роман Володимир Ігорович

Львів - 2011

Зміст:

1. Різноманітність та ентропія

2. Закон необхідного різноманіття станів

3. Закон необхідного різноманіття в задачі планування випуску продукції

4. Шляхи зниження ентропії в задачах планування.

1. Різноманітність та ентропія.

Будь-якій системі властива деяка ступінь різноманітності, яка за У. Р. Ешбі визначається множиною можливостей її перебування в різних станах. Цю ступінь різноманіття можна охарактеризувати, задаючи таблицю ймовірностей перебування системи в кожному з можливих станів.

де - можливий стан системи, - ймовірність того, що система перебуває в цьому стані.

Стан системи можна представити одним чи декількома параметрами, не всі з яких мають кількісне вираження. Важливим моментом є те, що всі можливих станів різні і вони визначають ступінь різноманітності системи.

В якості міри різноманітності для множини можливих станів системи використовується поняття ентропії.

Ця величина представляє собою математичне сподівання логарифму ймовірності перебування системи в стані , і відповідає введеній Шенноном в теорії інформації «мірі невизначеності».

Таким чином, невизначеність виконання одного з можливих станів системи залежить як від числа можливих станів, так і від розподілу ймовірностей цих станів. Наприклад, якщо виконання будь-якого з варіантів рівноймовірно, то невизначеність вибору максимальна і визначається загальною кількістю варіантів.

Тобто змістом поняття ентропія є міра різноманіття можливих станів системи.

Розглядаючи план як систему, можна сказати, що йому також притаманна властивість ентропії, оскільки реалізація прийнятого рішення в силу суттєвої невизначеності майбутньої поведінки планованої системи не може бути однозначною.

Очевидно, що з точки зору прийнятого управлінського рішення можливе різноманіття необхідно обмежувати. Ступінь обмеження і визначає можливість прийняття визначеного, і зокрема оптимального, рішення при управлінні.

Під обмеженням різноманітності розуміється його зменшення в порівнянні з абстрактно можливим внаслідок яких-небудь умов, які накладаються на систему, чи внутрішніх її характеристик. В якості міри обмеження різноманіття може бути використана широко використовуване в теорії інформації поняття надлишковості:

де - ентропія системи в умовах заданих обмежень різноманіття;

- максимальна ентропія системи в умовах найбільшого для даної системи ступеня незалежності станів.

Найбільша степінь обмеження різноманіття відповідає реалізації єдиного можливого стану. При цьому , тобто множина не виявляє ніякого різноманіття, а надлишковість максимальна і рівна одиниці. Загалом ентропія будь-якої достовірної події (чи прийнятої як достовірної) рівна нулеві, оскільки

.

Навпаки, якщо є тільки одне обмеження загальної кількості різноманітних можливостей і всі можливі стани рівноймовірні, то ентропія досягає максимального значення при цих обмеженнях:

.

Розглянемо спочатку, з яких позицій доцільно використовувати поняття ентропії для розв’язування задач, пов’язаних з перспективним плануванням.

В цьому аспекті ентропія є властивістю,принципово властивим фізичній, а не економічній системі, і навіть глибока аналогія моделей не дозволяє вести про неї мову як про властивість, яка характеризує безпосередньо планову систему.

Продуктивним є інший аспект використання поняття ентропії в економіці – це використання шенноновського поняття ентропії безпосередньо як кількісної міри економічної інформації:

де - кількість інформації, яка міститься в одному повідомленні;

- ентропія системи до отримання повідомлення (апріорна ентропія);

- ентропія системи після отримання повідомлення (апостеріорна ентропія).

Використання такого підходу досить продуктивно при створенні автоматизованих систем управління виробництвом. Однак цей напрямок відноситься лише до питань збору, передачі та обробки інформації в економічній системі, а не до характеристик плану як складної системи, хоча формально поняття ентропії як кількісної міри інформації і як міри різноманіття станів системи ідентичні і визначаються відношенням

.

Якщо орієнтуватися на зміст поняття ентропія, як він визначається в теорії систем, то і тут можливі різні використання даного поняття. Зупинимося детальніше на їх змісті і можливостях використання для характеристик плану як складної системи.

Будемо використовувати дві модифікації поняття внутрішньоструктурної ентропії:

,-

обидва ці поняття відображають внутрішню структуру плану.

Ентропія станів визначається як міра різноманіття множини можливих варіантів плану . Інакше кажучи, якщо необхідно зробити вибір серед сукупності планів , яким відповідають ймовірності , то різноманіття цього вибору визначається відповідною ентропією:

.

В такому аспекті ентропія по своєму змісту відповідає аналогічному поняттю теорії систем.

Нехай задача планування формулюється як задача лінійного програмування:

Умови, які визначають множину можливих планів

Виділяють в усьому просторі станів системи випуклий багатогранник. Можна вважати, що всі стани системи в ньому рівноймовірні. В такому випадку:

де - кількість різноманітних станів системи.

Оскільки множина допустимих планів в даному випадку нескінченна, тоді умови:

слабо обмежують різноманітність .

Як відомо, розв’язок задач оптимізації виду:

знаходиться серед так званих опорних планів, які відповідають кутовим точкам багатогранника рішень. Тому можна ввести додаткову умову – «виділити опорні плани». Таке обмеження різноманіття перетворює безкінечну множину можливих станів в скінченне, яке залежить від рангів матриці обмежень і розширеної матриці. Міра ентропії в такому випадку у відповідності з

стає хоча б скінченним числом.

Наступна умова, яка приводить до зниження ентропії, може відображати той факт, що серед множини опорних планів потрібно розглядати лише ті, в базис яких входить обов’язково визначений перелік об’єктів (як, наприклад, в транспортній задачі з виключенням перевезень). Ентропія в такому випадку знижується навіть при рівноймовірній реалізації станів, оскільки потужність множини можливих станів нижча.

І, наостанок, суттєво обмежує різноманіття, зводячи його практично до нуля, додавання до обмежень

цільової функції в умовах єдиного розв’язку системи.

Зауваження. Ентропія станів завжди рівна нулю, якщо розглядається один стан системи, якою б вона складною не була.

Таким чином, ентропія плану як системи є її невід’ємною властивістю, важливою для системного аналізу плану.