- •Оглавление
- •Занятие 8. Полиномы. Действия над полиномами. Схема Горнера
- •Полиномы. Определение
- •Действия над полиномами
- •Алгоритм Евклида.
- •Занятие 10. Разложение полинома по степеням через схему Горнера. Кратные корни. Отыскание кратности корня с помощью схемы Горнера
- •10.1. Формула ТеЙлора, разложение полинома по степеням (через схему Горнера)
- •10.2. Кратность корней. Нахождение кратности корня с помощью схемы Горнера
- •10.2. Способ нахождения всех кратных корней
- •Занятие 9. Решение уравнений 3-й и 4-й степени
- •9.1. Решение уравнений 3-й степени
- •9.2. Решение уравнений 4-й степени
- •Занятие 12. Полиномы над полем . Приводимость. Полиномы над полем
- •12.1. Решение уравнений -й степени
-
Алгоритм Евклида.
Пусть . Разделим на с остатком:
;
;
;
, где
или последний, не равный нулю остаток.
Упражнение 9.3. П 631 а).
9.3. Линейное представление НОД
Теорема 9.2. Пусть . Тогда существуют полиномы такие, что
Замечание 9.1. Найти и можно с помощью алгоритма Евклида аналогично тому, как искали линейное представление НОД для целых чисел.
Упражнение 9.4. П 632 а).
Теорема 9.3. Полиномы взаимно просты () тогда и только тогда, когда существуют два полинома такие, что
При этом будет выполняться
Упражнение 9.5. П 634 а).
Д/з: П 588, 641 d), c), 551, 541, 634 b), 636 a), 638.
Занятие 10. Разложение полинома по степеням через схему Горнера. Кратные корни. Отыскание кратности корня с помощью схемы Горнера
10.1. Формула ТеЙлора, разложение полинома по степеням (через схему Горнера)
Любую раз дифференцируемую в точке функцию можно разложить в ряд Тейлора:
где , если - полином.
Определение 10.1. Назовем такое представление разложением по степеням .
Задача 1. Пусть имеется полином
Требуется разложить по степеням , т. е. найти неизвестные коэффициенты в разложении
Эту задачу можно решать двумя способами:
1) Так как , то, раскрывая скобки по биному и подставив в , получим разложение (трудоемко).
2) можно воспользоваться схемой Горнера
В остальных строках вычисляются
Пример 10.1.
Замечание 10.2. Очевидно, что с помощью схемы Горнера возможно вычисление значений производных в точках.
10.2. Кратность корней. Нахождение кратности корня с помощью схемы Горнера
Пусть разложение полинома на линейные множители
Среди могут быть совпадающие. Если они есть, то
(10.1)
где , а среди нет совпадающих.
Определение 10.2. Если , то корень называется кратным корнем кратности , если то корень называется простым.
Задача 2. Имеет ли данный полином кратный корень? Если да, то какова его кратность?
Теорема 10.1. Пусть - кратный корень кратности полинома . Тогда является кратным корнем кратности .
где , ,
Замечание 10.2. можно также найти по алгоритму Евклида.
Итак, для того, чтобы ответить на вопрос «имеет ли данный полином кратный корень?», необходимо найти . Если , то «нет», иначе – «да».
Если корень λ полинома известен, то его кратность можно найти с помощью схемы Горнера.
Чтобы ответить на вопрос «какова кратность корня?», построим последовательность:
имеет только простые корни; эти корни будут корнями кратности r полинома .
Упражнение 10.1.
можно найти корни. Они будут кратными корнями .
10.2. Способ нахождения всех кратных корней
Если уравнение достаточно большей степени и его решить не удается, то построим последовательность:
т. к.
Так продолжаем до тех пор, пока не найдется :
Все корни полиномов – простые, однако, среди корней полинома нет простых корней полинома (т. к. для простых корней полинома имеем , а в полином входят корни, для которых ); среди корней нет корней кратности 2 полинома и т. д.
Следовательно, найдя полиномы
получим полиномы , корни которых простые и являются корнями кратности j полинома , и представление:
Замечание 10.3. Если поделить на , то уйдут те простые корни , которые содержатся в , следовательно, останутся только те, которые в последующих членах ряда , , не содержатся, следовательно, кратность этих корней в полиноме равна 1. Если поделить на , то останутся корни кратности j в полиноме .
Замечание 10.4. Этот способ определения кратности корней, их существования, используется в случае, когда сложно разложить на линейные множители.
Пример 10.2.
- кратность 2, - кратность 1.
Замечание 10.5. Таким образом, схема Горнера используется:
-
для вычисления при
-
для вычисления полинома при делении на линейный множитель
-
для вычисления производных
-
для разложения по степеням
-
для определения кратности корня полинома .
Д/з: П 541, 544 (b), 545 (d), 547, 548 (b), 549, 551, 588, 591, 631(b, c), 634 (b), 636 a), 638, 639 (a, b, c).