2. Расчет тепловых процессов в аноде рентгеновской трубки.
Как известно, практически вся потребляемая трубкой электрическая мощность преобразуется в тепло, выделяемое на аноде рентгеновской трубки. Поэтому при конструировании рентгеновских трубок необходимо рассчитывать их тепловые режимы. С точки зрения нагрева наиболее критическими являются центр фокусного пятна и центр спая мишени с массивным анодом.
При расчете теплового режима анодов рентгеновских трубок, как правило, вполне допустимо считать, что теплофизические характеристики материалов, из которых изготовлен анод, не зависят от температуры.
В данной работе рассматривается вращающийся вольфрамовый анод, который можно схематически представить в виде полого цилиндра (рис. 5). Расчет тепловых процессов в таком аноде представляет собой сложную задачу, поэтому имеет смысл рассмотреть данную задачу на основе простого цилиндрического анода с массивной мишенью. При этом необходимо учесть, что анод вращается и, следовательно, мощность “размазывается” по фокусной дорожке.
Рис.5. Схема вращающегося анода мощной рентгеновской трубки.
Если мы имеем цилиндрический анод радиуса R, и высотой H с массивной мишенью толщиной H1, то данную задачу удобнее решать в цилиндрических координатах (см. рис. 6). Допустим, что мишень бомбардируется осесимметричным электронным пучком с радиусом r. Распределение плотности тока в пучке и, следовательно, распределение теплового потока в фокусном пятне на поверхности мишени будем считать равномерным. Как показывает опыт, основание анода является практически изотермическим и будем считать, что с помощью системы охлаждения температура основания Тc1 поддерживается постоянной. Поскольку боковая поверхность массивного анода обычно находится в вакууме, то теплоотводом через нее можно пренебречь.
Рис.6. Схема цилиндрического анода.
Для того чтобы определить тепловой режим работы данного анода необходимо решить дифференциальное уравнение с граничными условиями первого и второго рода. Формулы, полученные для расчета температур в результате решения этого уравнения, будут иметь весьма громоздкий вид. Однако для определения мощности, которую можно подвести к аноду, достаточно знать температуру лишь в характерной точке – в центре фокусного пятна. Эту температуру можно рассчитать по следующей формуле:
,
(1)
где P – подводимая к аноду мощность, R – радиус анода, fф – функция, полученная в результате суммирования рядов и зависящая от геометрии анода, радиуса фокусного пятна и коэффициента теплопроводности анода. Тс – температура в сечении H0 = 2R, определяется по формуле:
,
(2)
где Тс1 – температура основания анода, l – теплопроводность анода, H – высота анода.
Таким образом, определив температуру Тс по этой формуле дальнейший расчет следует вести по формуле (1), с применением графика функции fф, приведенного на рис. 7.
Рис.7. График вспомогательных функций fф и fH1.
Из формул (1) и (2) можно, зная максимально допустимую температуру центра фокусного пятна, вывести максимальную мощность, которую можно приложить к цилиндрическому аноду:
.
В
данном случае фокусное пятно имеет
линейную форму (рис. 5), можно прейти к
рассмотрению круглого фокусного пятна
радиусом
.
Принимая отношение
равным 0,1 (т.к. в нашем случае размеры
анода много больше размеров фокусного
пятна) и учитывая размеры фокусного
пятна (F
= L
= 0,2 см) находим
R:
см.
Для
вольфрама предельно допустимая
температура Тф
= 2000 0С,
теплопроводность
= 1,2 Вт/см.град.
Толщина вольфрамового анода 0,6 см.
Температуру основания анода будем
считать равной Тс1
= 25 0С.
Можно найти максимально допустимую
мощность, которую можно приложить к
цилиндрическому аноду:
Вт.
Считая, что за время полного оборота вращающегося анода любой его участок охлаждается до температуры Тс1, можно перейти от рассмотрения цилиндрического анода к вращающемуся аноду. Полная мощность, которую можно приложить ко всему аноду будет во столько раз больше, во сколько раз размеры фокусной дорожки больше рассмотренного выше участка. Считая, что диаметр вращающегося анода D = 8 см, находим полную мощность:
= 28621 Вт.