2. Содержание активного раздаточного материала.

Таблица 6

2.1 Тематический план курса.

Наименование темы	Количество академических часов
	Лекц.	Лаб.	СРСП	СРС
1	2	3	4	5
1. Введение. Метод проекций. Эпюр Монжа. Прямые общего и частного положения на эпюре Монжа.	2	4	6	6
2. Плоскость. Позиционные задачи.	2	4	6	6
3. Многогранники.	3	6	8	8
4. Метрические задачи. Способы преобразования чертежа.	2	4	6	6
5. Кривые линии и поверхности. Пересечение поверхности плоскостью и прямой.	2	4	6	6
6. Взаимное пересечение поверхностей. Развертки многогранных и кривых поверхностей.	2	4	6	6
7. Проекции с числовыми отметками. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками.	2	4	6	6
Всего (часов)	15	30	45	45

2.2 Конспект лекционных занятий.

Лекция 1. Введение. Метод проекций. Эпюр Монжа.

Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, изучает методы отображения трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений пространственных задач на чертеже.

Геометрические фигуры делятся на линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность), составные (многогранники и др.). Основным элементом пространства принято считать точку, поэтому все геометрические фигуры представляются как множества точек. Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования.

Центральное проецирование. Центральное проецирование состоит из центра проецирования S и плоскости проекций П_i . Для построения проекции точки А_i некоторой точки А пространства выполняют следующие операции:

- строят проецирующую прямую SA;

- определяют точку А_i пересечения SA с плоскостью П_i.

Свойства центрального проецирования:

1. проекцией точки является точка: АА_i;

2. прямая проецируется в прямую: mm_i (проецирующая прямая проецируется в точку);

3. сохраняется принадлежность: С m ® C_iÎ m_i.

Параллельное проецирование. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проецирования S становится несобственным. Поэтому обычно вместо несобственного центра проецирования S ^ говорят о направлении проецирования s. Первые три свойства центрального проецирования будут справедливыми и в случае параллельного проецирования. Свойства параллельного проецирования:

4. сохраняется параллельность: аb ® a_i b_i.

5. отношения длин проекций отрезков параллельных прямых к длинам самих отрезков постоянны;

6. Отрезки прямых, плоские фигуры, параллельные плоскости проекций, проецируются без искажения (в натуральную величину).

Прямоугольное проецирование. Если направление s параллельного проецирования перпендикулярно плоскости П_i , то проецирование называется прямоугольным (ортогональным). Все свойства параллельного проецирования справедливы в случае прямоугольного проецирования.

7.

где  - угол между отрезками АС, ВС и плоскостью проекций П_i (рисунок 1.2).

Правило прямоугольного треугольника. Натуральная величина отрезка АВ равна гипотенузе прямоугольного треуголь­ника, один катет которого равен проек­ции отрезка на П_i , а второй катет – раз­ности расстояний концов отрезка до этой плоскости проекций.

Теорема. Прямоугольной проекцией прямого угла является также прямой угол, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей (рисунок 1.3).

Требования, предъявляемые к чертежу. К чертежу предъявляются следующие требования: обратимость, точность, простота, наглядность. Чертеж называется обратимым, если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. В инженерной практике широко используются обратимые чертежи: - эпюр Монжа, аксонометрия, линейная перспектива, проекции с числовыми отметками.

Чертеж Монжа – основной вид обратимого изображения. Французский математик и инженер Гаспар Монж (1746-1818гг.), систематизировав и обобщив накопленные к тому времени знания по теории и практике построения изображений предметов пространства, предложил получать их изображения путем прямоугольного проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. В зависимости от этого также чертежи называют двухкартинными (рисунок 1.4) или трехкартинными (рисунок 1.5). На рисунке 1.4а видно, что плоскости П₁(фронтальная), П₂ (горизонтальная) делят пространство на четыре части, называемые четвертями. Полученный чертеж на рисунке 1.4б является обратимым, так как по нему можно определить координаты точки А в пространстве. Следовательно, на двухкартинном чертеже можно решать любые позиционные и метрические задачи.

Трехкартинный чертеж Монжа получается из двух картинного путем добавления третьей плоскости проекций П₃, перпендикулярной оси Оx (рисунок 1.5). Эта плоскость называется профильной плоскостью проекций.

Плоскости П₁, П₂, П₃ делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Построение третьей проекции по двум заданным показано на рисунке 1.5б. В ряде случаев на чертеже Монжа не указываются проекции осей координат. Такие чертежи принято назвать безосными.

Основная литература: 1 осн.8-20 , 2 осн. 4-30 

Дополнительная литература: 1 доп.[7-14].

Контрольные вопросы:

1.Что составляет предмет начертательной геометрии?

2. Перечислите свойства центрального проецирования.

3. Перечислите свойства параллельного проецирования.

4. Перечислите основные требования, предъявляемые к чертежу.

5. Что называют ортогональной проекцией точки?

6. Как образуются проекции точки на плоскостях П₁, П₂, П₃?

7. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат и какие координаты на эпюре определяют ее горизонтальную, фронтальную проекции?

Лекция 2. Прямые общего и частного положения на эпюре Монжа.

Т ак как прямая m однозначно определяется двумя точками А и В, то ее проекции определяются проекциями этих точек (рисунок 2.1). В силу сохранения свойства принадлежности при проецировании проекции прямой проходят через одноименные проекции точек: m₁(A₁,B₁); m₂(A₂,B₂); m₃(A_.3,B₃).

Прямая, расположенная совершенно произвольно относительно плоскостей проекций, называется прямой общего положения. На рисунке 2.1 показана прямая общего положения.

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня (рисунок 2.2). Прямая АВ, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой (горизонталь) h.

Прямая CD, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой (фронталь) f.

Прямая EF, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой p. Отрезки прямых уровня проецируются без искажения на соответствующую плоскость проекций.

Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей (рисунок 2.3). Признаком проецирующей прямой является вырождение какой-либо ее проекции в точку. Проецирующая прямая называется:

- горизонтально-проецирующей, если она перпендикулярна П₂;

- фронтально-проецирующей, если она перпендикулярна П₁;

- профильно-проецирующей, если она перпендикулярна П₃.

Следы прямой. Точка пересечения прямой с какой-либо плоскостью проекций называется ее следом на этой плоскости проекций.

А ппликата горизонтального следа М = lП₂ прямой а равна нулю, поэтому его фронтальная проекция М₁ принадлежит оси x₁₂. Аналогично, фронтальный след N = lП₁ имеет ординату, равную нулю, следовательно, его горизонтальная проекция N₂ принадлежит оси x₁₂.

Для построения горизонтального следа М прямой l необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью x₁₂ и в этой точке восставить к оси перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Для построения фронтального следа N прямой l нужно из точки пересечения горизонтальной проекции ее с осью x₁₂ восставить к оси перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

Основная литература: 1 осн.21-22 , 2 осн. 31-34 

Дополнительная литература: 1 доп.[15-17].

Контрольные вопросы:

1. Какую прямую называют прямой общего положения?

2. Перечислите прямые частного положения?

3. Какие прямые называются прямыми уровня?

4. Какие прямые называются проецирующими прямыми линиями?

5. Что называют следом прямой?

6. Как построить горизонтальный и фронтальный следы прямой?

Лекция 3. Плоскости общего и частного положения на эпюре Монжа.

П оложение плоскости в пространстве можно определить: тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 3.1а), прямой и точкой вне ее (рисунок 3.1б), двумя пересекающимися (рисунок 3.1в) или прямыми (рисунок 3.1г), любой плоской фигурой (рисунок 3.1д). Каждый последующий вид задания плоскости может быть получен из предыдущего.

Плоскость может быть задана также следами. Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рисунок 3.2).

В общем случае плоскость имеет три следа: горизонтальный h_, фронтальный f_, профильный p_. Следы плоскости пересекаются попарно на осях в точках X_, Y_, Z_, которые называются точками схода следов плоскости. Треугольник, образованный следами плоскости, называется треугольником следов.

Плоскость, произвольно расположенная относительно плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.

Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей, а параллельная ей – плоскостью уровня.

Различают горизонтально ((АВС)П₂), фронтально ((DEF)П₁) и профильно ((GKH)П₃) проецирующие плоскости (рисунок 3.3).

Н а рисунке 3.4 изображены плоскости уровня: горизонтальная ((АВС)П₂), фронтальная ((DEF)П₁), профильная ((GKH)П₃).

Основная литература: 1 осн.35-42 , 2 осн. 40-49 

Дополнительная литература: 1 доп.[19-20].

Контрольные вопросы:

1. Перечислите и изобразите графические способы задания плоскости на комплексном чертеже.

2. Что понимаю под следом плоскости?

3. Какую плоскость называют проецирующей и каковы ее графические признаки на чертеже?

4. Дайте характеристики плоскостям: горизонтально проецирующей, фронтально проецирующей, профильно проецирующей.

5. Какую плоскость называют плоскостью уровня?

6. Какую плоскость называют горизонтальной? фронтальной? профильной?

Лекция 4. Основные позиционные задачи.

Основными позиционными задачами называются задачи на определение взаимного расположения точки, прямой и плоскости.

Для определения видимости на чертеже применяется метод конкурирующих точек. Конкурирующими называются точки, расположенные на одной проецирующей прямой. На рисунке 4.1 (АВ) П₁, следовательно точки А и В – фронтально-конкурирующие. (СD) П₂, поэтому точки С и D – горизонтально-конкурирующие. Точка С находится выше точки D, поэтому точка С является видимой на горизонтальной проекции. Ордината точки А больше, чем точки В, поэтому точка А находится ближе к зрителю, следовательно, она является видимой на фронтальной проекции.

Прямые и точки, лежащие в плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат данной плоскости. На рисунке 4.2 показана прямая l, принадлежащая плоскости (bc), поскольку имеет с нею две общие точки – В и С.

Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей данной плоскости. Для того чтобы построить в плоскости (bc) точку K (рисунок 4.2), необходимо провести в плоскости прямую l, принадлежащую плоскости a(bÇc), а затем задать на ней точку K, которая принадлежит прямой l и, следовательно, плоскости a(bÇc).

Главные линии плоскости. Среди множества прямых, которые могут быть проведены в плоскости, следует выделить главные линии плоскости:

1. Горизонтали – прямые, принадлежащие плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (рисунок 4.3а). Фронтальная проекция горизонтали горизонтальна.

2 . Фронтали – прямые, принадлежащие плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (рисунок 4.3б). Горизонтальная проекция фронтали горизонтальна.

3. Линии наибольшего ската(наклона) - прямые, принадлежащие данной плоскости и перпендикулярные горизонталям (или фронталям) плоскости. На рисунке 4.4 показана линия наибольшего ската MN плоскости .

Следует отметить, что следы плоскости также являются главными линиями плоскости – горизонталью и фронталью, совмещенными с плоскостями проекций. Главные линии плоскости в качестве вспомогательных прямых облегчают решение ряда задач.

Взаимное положение двух плоскостей. Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости. Если параллельные плоскости задаются на эпюре следами, то одноименные следы этих плоскостей должны быть параллельны. На рисунке 4.5 плоскость (ab) параллельна плоскости (сd), поскольку с  а (с₁  а₁, с₂  а₂ ), d  b (d₁  b₁, d₂  b₂ ) .

Рассмотрим частный случай пересечения плоскостей, когда одна из них – проецирующая (рисунок 4.6). Если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая, то одна из проекций линии пересечения совпадает с ее проецирующим следом.

Рассмотрим общий случай пересечения, когда обе плоскости – общего положения. На рисунке 4.7а приведены две плоскости  и , заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получим проекции линии пересечения плоскостей.

Е сли точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа, а также в тех случаях когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные проецирующие плоскости или плоскости уровня. На рисунке 4.7б показаны две плоскости общего положения, заданные треугольником и двумя параллельными прямыми. Для определения двух общих точек линии пересечения плоскостей проводим две вспомогательные плоскости уровня  и .

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пересечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Если плоскость занимает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определяется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая строится с помощью линии связи (рисунок 4.8).

Если плоскость общего положения, точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости.

Для построения точки пересечения прямой линии l с плоскостью (АВС) необходимо(рисунок 4.9):

1 ) провести через прямую l вспомогательную проецирующую плоскость ; 2) построить линию MN пересечения данной плоскости  и вспомогательной плоскости ; 3) определить искомую точку К пересечения данной прямой l с линией пересечения плоскостей MN (в случае если l  MN, то прямая l параллельна плоскости , если l  MN, то прямая l принадлежит плоскости ).

Основная литература: 1 осн.43-62 , 2 осн. 40-66 

Дополнительная литература: 1 доп.[20-29].

Контрольные вопросы:

1. Когда прямая принадлежит плоскости?

2. Когда точка принадлежит плоскости?

3. Перечислите и изобразите главные линии плоскости.

4. В каком случае прямая параллельна плоскости?

5. Как по чертежу установить параллельность двух плоскостей?

6. Перечислите этапы построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения.

Лекция 5. Многогранники.

Многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями(отсеками) пересекающихся плоскостей. Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения - ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами. Совокупность ребер и вершин многогранной поверхности называется сеткой.

Наиболее распространенные многогранники – призмы и пирамиды. Призму, ребра которой перпендикулярны к основанию, называют прямой. Если в основании прямой призмы – прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

Многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называется пирамидой.

Среди большого числа разновидностей многогранников особую группу составляют правильные выпуклые многогранники.

Правильными многогранниками (Платоновыми) называются многогранники, у которых все грани – правильные и равные многоугольники, а углы при вершинах равны. Около каждого многогранника можно описать сферу и, наоборот, в каждый многогранник можно вписать сферу.

Существуют пять правильных многогранников:

1. Тетраэдр (четырехгранник) ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками. Тетраэдр – правильная трехгранная пирамида.

2. Гексаэдр (шестигранник), или куб. Его поверхность состоит из шести равных квадратов..

3. Октаэдр (восьмигранник). Его поверхность состоит из восьми равных треугольников. Куб и октаэдр имеют одинаковое число ребер. В октаэдр можно вписать куб, а в куб – октаэдр, так чтобы вершины одного многогранника совпадали с центром граней другого. Такие многогранники называются взаимно соответствующими

4. Додекаэдр (двенадцатигранник) ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками. Около каждой вершины соединены три пятиугольника. Додекаэдру соответствует правильный двадцатигранник.

5. Икосаэдр (двадцатигранник). Его поверхность состоит из двадцати равносторонних и равных треугольников, соединенных по пяти около каждой вершины. В икосаэдр можно вписать додекаэдр. Икосаэдр и додекаэдр являются взаимно соответствующими многогранниками.

Тетраэдр взаимно соответствует самому себе.

У каждой пары взаимно соответствующих многогранников число граней одного многогранника соответствует числу вершин другого, а количество ребер у них одинаково.

Таблица 5.1

Наименование	Форма грани	Г	В	Р
Тетраэдр		4	4	6
Гексаэдр (куб)		6	8	12
Октаэдр		8	6	12
Додекаэдр		12	20	30
Икосаэдр		20	12	30

Свойства многогранников изучал Эйлер, ему принадлежит теорема, устанавливающая зависимость между числом граней (Г), вершин (В) и ребер (Р) выпуклых многогранников всех видов.

Теорема. У всякого выпуклого многогранника число граней плюс число вершин минус число ребер равно двум, т.е. Г + В – Р =2.

Видимость ребер многогранника. Для определения видимости применяется способ конкурирующих точек (рисунок 5.1). Внешний контур проекций многогранника всегда видимый. Видимость ребер внутри контура следует определять на каждой проекции отдельно, рассматривая взаиморасположение ребер.

На рисунке 5.1 даны проекции четырехгранника. На фронтальной проекции конкурирующими точками скрещивающихся ребер являются точки 1 и 2, а на горизонтальной проекции – точки 3 и 4. Анализ взаиморасположения конкурирующих точек позволяет установить, что на фронтальной проекции ребро АD будет видимым, а ребро ВС – невидимым. На горизонтальной проекции ребро BD будет видимым, а ребро АС – невидимым.

Пересечение многогранника плоскостью. Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник, вершины и стороны которого определяются пересечением заданной плоскости соответственно с ребрами и гранями данного геометрического тела. Таким образом, для построения сечения находят или точки пересечения ребер с заданной плоскостью или строят прямые, по которым плоскость пересекается с гранями многогранника. Первый способ называют способом ребер, второй – способом граней.

Построение сечений значительно упрощается, если секущая плоскость является проецирующей. В этом случае одна проекция сечения совпадет с проецирующим следом плоскости. На рисунке 5.2 фронтальная проекция А₁,В₁,С₁ сечения совпадает с фронтальным следом ₁ секущей плоскости. Проведя линии связи до горизонтальных проекций соответствующих ребер многогранника, получим горизонтальную проекцию сечения.

Пересечение прямой призмы плоскостью общего положения. Секущая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью. Так как боковые грани призмы – горизонтально проецирующие плоскости, горизонтальная проекция сечения известна, она совпадает с горизонтальной проекцией боковых граней и ребер призмы. Для построения фронтальной проекции сечения необходимо спроецировать точки А, В, С, принадлежащие секущей плоскости, на фронтальную проекцию. Через точки А₂ и В₂проведем горизонтальную проекцию (1₂2₂) прямой (1,2). На фронтальной проекции (1₁2₁) находим фронтальные проекции А₁, В₁. Через точку С проводим горизонтальную проекцию f´₂ фронтали f´, а затем строим ее фронтальную проекцию. В пересечении с соответствующим ребром призмы получим искомую проекцию точки С.

Пересечение пирамиды плоскостью общего положения. В отличие о предыдущей задачи, здесь необходимо построить обе проекции сечения. Горизонтальный след секущей плоскости не пересекает основание пирамиды, следовательно, пересекается ее боковая поверхность. Сечение должно иметь форму треугольника, вершинами которого будут точки пересечения ребер пирамиды с плоскостью. Точка пересечения D ребра SC с плоскостью (fh) найдена с помощью фронтально проецирующей плоскостью . Таким же образом можно определить и точку Е сечения. Но можно применить и другой прием. Продолжим ребро АС, которое является горизонтальным следом грани АСS пирамиды, до пересечения с горизонтальным следом секущей плоскости в точке 3. Точки D и 3 принадлежат линии пересечения ED данной грани и секущей плоскости. Построим точку F таким же способом, так как вспомогательная секущая плоскость, проведенная через ребро BS, будет параллельна профильной плоскости проекций и не даст решения. Точка 4 является точкой пересечения горизонтальных следов грани ABS и секущей плоскости. Соединив полученные точки прямыми и выделив на фронтальной проекции невидимый участок DE сечения, закончим построения.

Основная литература: 1 осн.95-116 , 2 осн. 111-146 

Дополнительная литература: 1 доп.[37-57].

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение многогранника. Перечислите элементы многогранника.

2. Какие многогранники называются правильными?

3. Изложите сущность построения сечения многогранника плоскостью частного положения.

4. Изложите сущность построения сечения многогранника плоскостью общего положения.

Лекция 6. Многогранники. Пересечение многогранника с прямой. Взаимное пересечение многогранников.

Пересечение прямой линии с многогранником (рисунок 6.1). Эта задача решается в три этапа: 1) через данную прямую проводят секущую плоскость; 2) строят линию пересечения многогранника с секущей плоскостью; 3) определяют точки пересечения данной прямой с контуром сечения.

Линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную замкнутую линию. В частных случаях эта ломаная может распадаться на две замкнутые ломаные линии. Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Стороны представляют собой отрезки прямых, по которым пересекаются грани многогранников. Построения упрощаются, если вершины и стороны ломаной определяются соответственно как точки и прямые пересечения граней общего положения одного многогранника с проецирующими ребрами и гранями другого. При построении линии пересечения поверхностей двух пирамид, призмы и пирамиды, двух призм в качестве вспомогательных плоскостей можно использовать плоскости общего положения:

1. две пирамиды – вспомогательные плоскости должны проходить через вершины пирамид;

2. пирамида и призма – вспомогательные плоскости, проходящие через вершину пирамиды параллельно боковым ребрам призмы;

3. две призмы – вспомогательные плоскости, параллельные боковым ребрам обеих призм.

Пересечение пирамиды с прямой призмой. Боковые ребра призмы проецируются в точки, а боковые грани являются горизонтально проецирующими отсеками плоскостей. Поэтому, одна проекция линии пересечения многогранников известна. Точки пересечении пирамиды с призмой легко определяется на горизонтальной проекции. С помощью линии связи строим фронтальные проекции этих точек. Из вертикальных ребер призмы лишь одно пересекает пирамиду. Точки пересечения этого ребра определяем с помощью вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости, проходящей через данное ребро и вершину пирамиды. Соединяем построенные проекции точек, при этом следует руководствоваться горизонтальной проекцией.

Основная литература: 1 осн.95-116 , 2 осн. 111-146 

Дополнительная литература: 1 доп.[37-57].

Контрольные вопросы:

1. Изложите алгоритм построения точек пересечения прямой линии с многогранником.

2. Изложите сущность двух способов построения линии взаимного пересечения многогранников.

Лекция 7. Метрические задачи.

Следствия теоремы ортогональной проекции прямого угла.

Следствие 1. Если из двух взаимноперпендикулярных прямых, одна является горизонталью, то их горизонтальные проекции будут взаимноперпендикулярными (рисунок 8.1,а).

Следствие 2. Если из двух взаимноперпендикулярных прямых, одна является фронталью, то их фронтальные проекции будут взаимноперпендикулярными (рисунок 8.1,б).

Следствие 3. Если из двух взаимноперпендикулярных прямых, одна является профильной прямой, то их профильные проекции будут взаимноперпендикулярными.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Теорема. Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

П ример 8.1. Построить проекции прямой а, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости (М, m).

Сначала построим какую-нибудь горизонталь и фронталь плоскости . Для простоты горизонталь h и фронталь f плоскости  проведены через ее точку М. Искомая фронтальная проекция а₁ прямой а проведена через точку А₁ перпендикулярно прямой f₁, а искомая горизонтальная проекция а₂ прямой а проведена через точку А₂ перпендикулярно h₂.

Признаки взаимной перпендикулярности плоскостей. Плоскость  перпендикулярна плоскости , если она проходит через прямую а, перпендикулярную плоскости , или она перпендикулярна прямой b, лежащей в плоскости .

Через фиксированную точку М в пространстве можно провести сколько угодно плоскостей ¹, ², …, перпендикулярных заданной плоскости . Все эти плоскости проходят через перпендикуляр а, опущенный из точки М на плоскость . Совокупность плоскостей ¹, ², …, проходящих через прямую а, образует пучок плоскостей. Для фиксирования одной из этих плоскостей нужно иметь еще одно дополнительное условие.

Пример8.2. Построить проекции плоскости b, проходящей через заданную прямую l(l₁,l₂) и перпендикулярную заданной плоскости a(hf) (рисунок 8.3).

Возьмем произвольную точку А на прямой l. Из точки А опустим перпендикуляр а на плоскость a, т.е. А₁(а₁)f₁, А₂(а₂)h₂. Прямые а и l, которые пересекаются в точке А, определяют некоторую плоскость b. Плоскость b проходит через прямую а и перпендикулярна плоскости a.

Построение взаимноперпендикулярных прямых общего положения. Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость , перпендикулярную другой прямой.

Пример 8.3. Через точку А провести прямую а, пересекающую заданную прямую l под прямым углом (рисунок 8.4). Через точку А проведем плоскость a перпендикулярно прямой l: А₁(f₁)l₁; А₂(h₂)l₂; А₁(h₁)A₁ A₂; А₂(f₂) A₁ A₂; a(hf). Плоскость a определена горизонталью h и фронталью f. Любая прямая плоскости a перпендикулярна прямой l, но среди них существует лишь единственная прямая, пересекающая прямую l. Находим точку пересечения прямой l с плоскостью a. (К)=l a. Прямая а, определяемая двумя точками А и К, проходит через точку А и перпендикулярна прямой l, так как а al.

Определение длины отрезка прямой. Ортогональные проекции отрезка прямой общего положения всегда меньше длины самого отрезка (рисунок 8.5). Длину отрезка прямой АВ можно определить по двум его проекциям из прямоугольного треугольника А₂В₂А₀, в котором одним катетом является горизонтальная проекция А₂В₂ отрезка, а другим катетом – разность координат его концов z, взятая из другой проекции. Гипотенуза А₀В₂ прямоугольного треугольника есть длина отрезка. Угол  в этом треугольнике определяет угол наклона к плоскости П₂. Длину отрезка прямой можно определить аналогичным образом, построив прямоугольный треугольник на фронтальной проекции отрезка. Угол  в этом треугольнике определяет наклон прямой к плоскости П₁.

Дополнительная литература: 1 доп.[20-29].

Контрольные вопросы:

1. Какие задачи называются метрическими?

2. Сформулируйте теорему о прямоугольной проекции прямого угла.

3. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Когда прямой угол проецируется без искажения на горизонтальную плоскость проекций?

5. Сформулируйте условие перпендикулярности двух плоскостей.

Лекция 8. Способы преобразования чертежа. Способ плоскопараллельного перемещения.

Способы преобразования чертежа. Построение новых проекций оригинала по данным его проекциям называется преобразованием чертежа. Различают два метода преобразования чертежа:

1. Преобразование чертежа изменением положения оригинала относительно основных плоскостей проекций П₁, П₂, П₃.

2. Преобразование чертежа введением дополнительной плоскости проекций.

Основные задачи преобразования проекций.

Метод преобразования чертежа изменением положения оригинала относительно основных плоскостей проекций состоит в том, что оригинал перемещается относительно П₁, П₂, П₃ и ставится в такое положение, которое удобно для решения конкретной задачи. В зависимости от вида движения, которому подвергается оригинал, различают:

а) способ плоскопараллельного перемещения;

б) способ вращения вокруг проецирующих осей;

в) способ вращения вокруг прямой уровня.

Способ плоскопараллельного перемещения.

Плоскопараллельным перемещением предмета называется такое его движение, при котором все точки предмета перемещаются в плоскостях, параллельных между собой. В плоскопараллельном перемещении относительно плоскости П₁ все точки движущегося предмета перемещаются во фронтальных плоскостях уровня, в плоскопараллельном перемещении относительно плоскости П₂ – в горизонтальных плоскостях уровня. Для того, чтобы построить проекции в конечном ее положении нужно знать инварианты преобразования чертежа. Инвариантами преобразования называются такие правила, позволяющие по проекциям данного положения предмета найти проекции его конечного положения. Инварианты плоскопараллельного перемещения относительно плоскости П₁:

1. Фронтальная проекция перемещающейся фигуры движется по плоскости П₁, оставаясь равной самой себе;

2. Горизонтальные проекции точек фигуры перемещаются по фронтальным прямым, перпендикулярным к вертикальным линиям связи.

Основные задачи, решаемые преобразованием чертежа.

Все задачи, решаемые преобразованием чертежа, сводятся к четырем основным задачам. Покажем решения этих четырех задач способом плоскопараллельного перемещения.

Задача 1. Сделать прямую общего положения прямой уровня. Если мы хотим прямую l сделать горизонталью, то ее следует подвергать плоскопараллельному перемещению относительно П₁ (рисунок 8.6). Отметим две произвольные точки А и В прямой l. Вычерчиваем горизонтальную прямую и, отложив на ней отрезок А´₁В´₁= А₁В₁, примем ее за новую фронтальную проекцию l´₁ горизонтальной прямой l´. При этом горизонтальные проекции точек А и В остаются на горизонтальных прямых, проходящих через точки А₂ и В₂. По новым фронтальным проекциям А´₁ и В´₁ определяем их новые горизонтальные проекции А´₂ и В´₂. Если мы хотим прямую l сделать фронталью, то ее следует подвергать плоскопараллельному перемещению относительно П₂.(рисунок 8.7).

В результате решения этой задачи мы нашли натуральную величину отрезка АВ прямой l и углы ее наклона  и  к основным плоскостям проекций П₁ и П₂.

Задача 2. Сделать прямую уровня проецирующей прямой. Если дана горизонтальная прямая l´(l₁´, l₂´) , то проще всего сделать ее фронтально проецирующей прямой l´´(рисунок 8.6). Для этого вычерчиваем вертикальную прямую и, отложив на ней отрезок А₂″В₂″= А´₂В´₂, примем ее за новую горизонтальную проекцию l₂″ фронтально проецирующей прямой l″. Новая фронтальная проекция l₁″ вырождается в точку А₁″≡В₁″≡l₁″.

Из фронтальной прямой проще всего сделать горизонтально проецирующую прямую (рисунок 8.7). Для этого сначала вычерчиваем новую фронтальную проекцию в виде вертикальной прямой, а затем – новую вырожденную в точку горизонтальную проекцию.

Задача 3. Привести плоскость общего положения в положение проецирующей плоскости. Если мы хотим сделать плоскость (АВС) горизонтально проецирующей плоскостью, то ее следует подвергать плоскопараллельному перемещению относительно П₁ (рисунок 8.8). Проводим произвольную фронталь f плоскости a и сделаем ее горизонтально проецирующей прямой f ´. Новая фронтальная проекция А´₁В´₁ С´₁ треугольника АВС строится так, чтобы f ₁´ занимала вертикальное положение и . Находим новые горизонтальные проекции А₂´, В₂´, С₂´, которые располагаются на одной прямой. В новом положении a ´ плоскость a стала горизонтально проецирующей.

Если мы хотим сделать плоскость a фронтально проецирующей плоскостью, то следует ее подвергать плоскопараллельному перемещению относительно плоскости П₂ (рисунок 8.9).

Задача 4. Привести проецирующую плоскость в положение плоскости уровня. Если дана горизонтально проецирующая плоскость a´, то следует ее сделать фронтальной плоскостью плоскопараллельным перемещением относительно плоскости П₂ (рисунок 8.8). Для этого вычерчиваем горизонтальную прямую и на ней отмечаем точки А₂″, В₂″, С₂″ так, чтобы А₂″В₂″= А₂´В₂´ и В₂″С₂″= В₂´С₂´.Проводим через точки А´₁,В´₁, С´₁ горизонтальные прямые, а через точки А₂″, В₂″, С₂″ - вертикальные прямые. В пересечении прямых проведенных через проекции одноименных точек, получаем новые фронтальные проекции А₁″, В₁″, С₁″. Если дана фронтально проецирующая плоскость , то следует ее сделать горизонтальной плоскостью плоскопараллельным перемещением относительно плоскости П₁ (рисунок 8.9). В результате решения этой задачи мы получаем на чертеже натуральную величину треугольника АВС:

Основная литература: 1 осн.27, 60-62 , 2 осн. 40-56 

Дополнительная литература: 1 доп.[20-29].

Контрольные вопросы:

1. В чем сущность преобразования плоскопараллельным перемещением?

2. Перечислите основные четыре задачи, решаемые преобразованием.

Лекция 9. Способы преобразования чертежа.

Способ вращения вокруг проецирующей прямой.

Инварианты преобразования: при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, одна ее проекция перемещается по окружности, а вторая – по прямой, перпендикулярной проекции оси вращения. На рисунке 9.1 показано, что окружность, описываемая точкой А, проецируется на плоскость П₂ без искажения, а на плоскости П₁ – в виде отрезка прямой. При вращении точки вокруг фронтально проецирующей оси, траектория точки проецируется на фронтальную плоскость проекций окружностью, а на горизонтальную плоскость – отрезком прямой, перпендикулярным оси.

На рисунке 9.2 прямая общего положения одним вращением вокруг горизонтально проецирующей оси i преобразована в линию уровня (фронталь), а затем вторым вращением вокруг оси j , перпендикулярной фронтальной проекции, приведена в проецирующее положение – проецируется на плоскость П₂ в точку.

Способ вращения вокруг прямой уровня.

Этот способ на практике применяется главным образом для преобразования чертежа плоской фигуры, причем плоская фигура вращается до положения плоскости уровня. При этом плоская фигура проецируется на соответствующую плоскость проекций без искажения. Инварианты преобразования:

1. новая и старая проекция любой точки фигуры находится на одной прямой, перпендикулярной оси вращения.

2. длина новой проекции любого отрезка фигуры будет равна натуральной длине этого отрезка.

На рисунке 9.3 в плоскости, заданной треугольником АВС, проведена горизонталь через вершину А и точку 1. Горизонталь принята за ось вращения. Точки А и 1 при вращении останутся неподвижными. Точки В и С вращаются по окружностям, которые проецируются на горизонтальной проекции отрезками прямых, перпендикулярными проекции оси. Так как треугольник должен занять горизонтальное положение, радиус вращения вершины В, например, должен проецироваться в натуральную величину. Длину радиуса R_В можно определить способом прямоугольного треугольника. Определив горизонтальное положение радиуса вращения вершины В, построим вершину С' в пересечении прямой В´1 с проекцией ее траектории вращения. Полученная проекция АВ´С´ и определяет истинную величину треугольника.

Способ замены плоскостей проекций.

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что при неизменном положении объекта в пространстве производится замена данной системы плоскостей проекций новой системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (рисунок 9.4). При переходе к новой системе одну из плоскостей проекций заменяют новой плоскостью так, чтобы данный геометрический элемент занял частное положение. Инварианты преобразования: при замене плоскостей проекций расстояние от новой проекции точки до новой оси равно расстоянию от заменяемой проекции точки до старой оси проекций.

Требуется определить натуральную величину отрезка прямой АВ. Для этого нужно преобразовать прямую АВ в прямую уровня. На рисунке 9.4 а,б ось проведена параллельно горизонтальной проекции А₂В₂ прямой АВ, а новая плоскость П₄ расположена параллельно прямой АВ, которая проецируется на эту плоскость в истинную величину. Новая ось х₂₄ и плоскость проекций П₄ могут быть расположены на любом расстоянии от прямой, они могут совпадать с прямой и ее проекцией.

Основная литература: 1 осн.65-95 , 2 осн. 94-110 

Дополнительная литература: 1 доп.[29-37].

Контрольные вопросы:

1. В чем сущность преобразования проекций способом замены плоскостей проекций?

2. Назовите задачи, для решения которых достаточно заменить только одну плоскость проекций.

3. Назовите задачи, которые решаются заменой двух плоскостей проекций.

4. В чем сущность преобразования способом вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций?

5. Укажите последовательность графических построений при определении натуральной величины плоской фигуры способом замены плоскостей проекций.

Лекция 10. Кривые линии и поверхности.

Кривая (линия) – это однопараметрическое множество точек. Кривая линия в начертательной геометрии рассматривается как траектория, непрерывно движущейся в пространстве точки, а также как линия пересечения поверхностей.

Типы линий – плоские, все точки которой принадлежат одной плоскости – (окружность, эллипс, парабола, гипербола), пространственные – все точки не принадлежат одной плоскости - винтовые (цилиндрические, конические и т.д.). Кривая может быть описана аналитически, т.е. уравнением (алгебраическим или трансцендентным), например, эллипс, парабола, гипербола и др. Если образование кривой не имеет строгой закономерности, то она задается графически, например горизонтали на плане местности.

Степень уравнения, которое выражает алгебраическую кривую, определяет порядок кривой. Геометрически порядок плоской кривой определяется числом точек ее пересечения прямой линией (как действительных, так и мнимых точек). Порядок пространственной кривой определяется числом точек пересечения кривой с плоскостью.

Свойства проекций кривой: 1) в общем случае проекции кривой линии является также кривыми линиями; 2) если точка принадлежит кривой линии, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой кривой; 3) касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекции этой кривой, если направление не параллельно касательной. Точка кривой называется обыкновенной, если в этой точке можно построить единственную касательную к кривой. Точка называется особой, если в ней не определено положение касательной. К ним относятся (рисунок 10.1): а) угловая точка, в которой кривая имеет две касательные и направление ее изменяется «скачком»; б) узловая точка, в которой кривая пересекает себя; в) точка перегиба, в которой изменяется направление движения касательной; г) точки возврата первого рода; д) точка возврата второго рода.

Образование и задание поверхности. В начертательной геометрии поверхность рассматривается как непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ образования поверхностей называется кинематическим. Линию l, которая при своем движении образует поверхность, называют образующей (рисунок 10.2). Образующая может перемещаться по какой-либо другой неподвижной линии m, называемой направляющей. Совокупность геометрических элементов и условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности называют определителем. Определитель поверхности содержит две части – геометрическую и алгоритмическую.

Поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно решить вопрос о ее принадлежности данной поверхности.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением линии – образующей вокруг неподвижной прямой – оси вращения.

На проекционном чертеже ось вращения располагают перпендикулярно плоскости проекций. Окружности, по которым перемещаются все точки образующей называются параллелями. Наибольшую параллель называют экватором, наименьшую – горловиной. Если ось вращения вертикальна, то все параллели проецируются на горизонтальной проекции без искажения. Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по линиям, называемым меридианами. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной плоскости проекций, называется главным и проецируется на эту плоскость проекций очерком поверхности.

На рисунке 10.4 показано как определять недостающую проекцию точки А, если задана ее только одна проекция на поверхности вращения.

При вращении прямой l вокруг оси i образуется линейчатая поверхность вращения второго порядка:

если l  i - коническая поверхность вращения;

если l  i - цилиндрическая поверхность вращения;

если l i - однополостный гиперболоид вращения.

Вид поверхности вращения зависит от формы образующей и ее положения относительно оси вращения. При вращении кривой n-го порядка, имеющей плоскость симметрии, вокруг оси, лежащей в этой плоскости, образуется поверхность вращения n-го порядка.

1. Сфера. Образуется вращением окружности вокруг диаметра.

2. Эллипсоид вращения. Меридианом является эллипс. Если эллипс вращается вокруг большой оси, эллипсоид называется вытянутым, если вращение происходит вокруг малой оси, эллипсоид называют сжатым.

3. Параболоид вращения. Меридианом является парабола.

4. Гиперболоид вращения. Меридианом поверхности является гипербола. Если ось вращения совпадает с действительной осью гиперболы, образуется двуполостный гиперболоид, если осью вращения является мнимая ось, то – однополостный.

5. При вращении алгебраической кривой n-го порядка вокруг произвольной прямой образуется поверхность вращения порядка 2n. Например, тор. Поверхность тора образуется вращением окружности вокруг оси, не проходящей через ее центр, но расположенной в плоскости окружности.

Поверхность, образованная движением прямой линии по заданному закону, называется линейчатой. Развертываемые линейчатые поверхности – конические и цилиндрические, торсовые. Линейчатая поверхность, образованная множеством касательных пространственной кривой, называется торсовой или поверхностью с ребром возврата.

Неразвертываемые – поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана): цилиндроид, коноид, косая плоскость (гиперболический параболоид) (рисунок 10.5).

Поверхность, образованная винтовым движением некоторой линии, называется винтовой поверхностью. Если при своем движении образующая пересекает ось винтового движения, то поверхность называется закрытой, в противном случае – открытой. Если образующей является прямая, то поверхность назвается геликоидом. Геликоид называется прямым, если образующая перпендикулярна оси винтового движения, в противном случае – наклонным. На рисунке 10.6 показан закрытый прямой геликоид. Если образующие открытого геликоида являются касательными некоторой цилиндрической винтовой линии, то геликоид называется винтовым торсом или эвольвентным, так как его нормальное (перпендикулярное оси) сечение представляет эвольвенту окружности.

Поверхность, образованная параллельным перемещением образующей l по направляющей m, называется поверхностью параллельного переноса.

Основная литература: 1 осн.117-162 , 2 осн. 67-93 

Дополнительная литература: 1 доп.[57-84].

Контрольные вопросы:

1. Какие кривые линии называются алгебраическими и какие - трансцендентными?

2. Какие точки кривой относят к особым?

3. Что называется определителем поверхности?

4. Укажите основные свойства поверхностей вращения?

5. Какие винтовые поверхности называют геликоидами?

6. Как построить точку и линию, принадлежащие поверхности?

Лекция 11. Пересечение поверхности плоскостью и прямой.

Прежде чем перейти к построению линии пересечения поверхностей вращения плоскостью, рассмотрим условия получения так называемых конических сечений – кривых линий, полученных в результате пересечения конуса секущей плоскостью.

Плоскость, проходящая через вершину, пересекает конус по двум прямым – образующим конуса.

П лоскость, перпендикулярная оси, пересекает конус по окружности.

Если плоскость пересекает все образующие конуса и не перпендикулярна его оси, то сечением будет эллипс (рисунок 11.1а).

Если плоскость пересекает одну полу конуса и параллельна одной образующей конуса, то сечением будет парабола (рисунок 11.1б).

Если плоскость пересекает обе полы конуса и параллельна двум его образующим, то в сечении получится кривая, состоящая из двух симметричных ветвей – гипербола (рисунок 11.1в).

Рассмотрим примеры построения линии пересечения поверхностей вращения плоскостью.

Пример 1. Построить пересечение конуса фронтально проецирующей плоскостью. Секущая плоскость является проецирующей, поэтому фронтальная проекция линии сечения совмещена с проецирующим следом плоскости f_. Полученный в сечении эллипс проецируется на плоскость П₁ отрезком 1₁-2₁, который является большой осью эллипса. Горизонтальная проекция строится с помощью линий связи. Малая ось 3-4 перпендикулярна большой оси и делит ее пополам. Точки 3 и 4 строим с помощью параллели или двух образующих конуса: S-3 и S-4. На рисунке 11.2 также построен натуральный вид сечения конуса способом замены плоскостей проекций. Дополнительные промежуточные точки могут быть построены аналогично построению точек 3 и 4.

Пример 2. Построить линию пересечения конуса плоскостью общего положения. В отличие от первого примера здесь необходимо построить обе проекции линии сечения. Точки пересечения отдельных образующих конуса с заданной плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости аналогично построению точки пересечения прямой с плоскостью. Сечение конуса неполное, если оно включает линию пересечения основания конуса. Две точки 1 и 2 определяются на плане в пересечении горизонтального следа h_ плоскости с окружностью основания. Точка видимости 3 определяется с помощью вспомогательной фронтальной плоскости  , проведенной через ось конуса и пересекающей плоскость по фронтали f. В пересечении ее фронтальной проекции с очерковой образующей конуса определяем проекции точки 3.

Высшая точка линии сечения 4 расположена на линии наибольшего ската плоскости, проходящей через ось конуса. Она определяется с помощью вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости . Промежуточные точки линии пересечения 5 и 6 построены с помощью горизонтальной плоскости , которая пересекает конус по окружности, а плоскость  - по горизонтали.

Основная литература: 1 осн.117-162 , 2 осн. 67-93 

Дополнительная литература: 1 доп.[57-84].

Контрольные вопросы:

1. Укажите общую схему определения точек линии пересечения поверхности проецирующими плоскостями.

2. Укажите общую схему определения точек линии пересечения плоскость общего положения.

3. Какие точки линии пересечения поверхности плоскостью называют опорными?

4. Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью получаются окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся прямые, точка.

5. Как построить высшую и низшую точки конического сечения?

Лекция 12. Взаимное пересечение поверхностей.

Для построения линии пересечения чаще всего используется способ вспомогательных поверхностей. Алгоритм решения задачи способом вспомогательных поверхностей может быть описан в общем виде следующим образом. Линией пересечения может быть прямая, плоская и пространственная кривая или любое сочетание из этих линий.

Построим одну из точек линии пересечения поверхностей  и . Для этого проведем поверхность , которая пересекается  по кривой а, а с W - по кривой b. Точка А пересечения кривых а и b принадлежит обеим заданным поверхностям, следовательно, и линии их пересечения с. Аналогично, может быть найдено любое число точек линии пересечения.

Чтобы построить линию пересечения двух поверхностей, следует рассечь их рядом вспомогательных поверхностей, построив линии пересечения поверхностей данных и вспомогательных, нужно отметить общие для них точки, эти точки должны быть последовательно соединены между собой.

Точки линии пересечения двух поверхностей делятся на опорные и промежуточные. К опорным точкам относятся:

1. самая близкая и самая удаленная точка линии пересечения относительно той или иной плоскости проекций;

2. точки видимости, имеющие проекции на линии очертания;

3. точки наибольшей ширины линии пересечения и т.д.

Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с определения ее опорных точек.

В качестве вспомогательных поверхностей чаще всего следует брать плоскости, либо сферы. Поэтому, из общего способа выделяют два, которые называются способом вспомогательных плоскостей и способом сфер.

Способ вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательных плоскостей могут быть приняты:

1. плоскости уровня;

2. проецирующие плоскости;

3. плоскости общего положения.

Пример. Построить пересечение трехгранной призмы с конусом вращения (рисунок 12.2). Три боковые грани призмы являются фронтально проецирующими плоскостями. Линия пересечения данных поверхностей представляет собой ломаную линию, состоящую из трех плоских кривых. Грани призмы пересекают поверхность конуса по окружности, неполному эллипсу и неполной параболе.

Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка. Способ сфер.

При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка. Эта кривая пересекается плоскостью в четырех точках (действительных и мнимых). Порядок линии пересечения равен произведению порядков пересекающихся поверхностей. Кривая четвертого порядка может распадаться на две плоские кривые второго порядка.

Теорема: Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и по второй кривой.

Справедливость этого положения вытекает из того, что сумма порядков кривых, на которых распалась линия пересечения поверхностей должна равняться четырем. Следовательно, должна существовать другая плоская кривая второго порядка, по которой пересекаются данные поверхности.

1. Оси двух пересекающихся поверхностей вращения совпадают.(рисунок 12.3)

Две соосные поверхности вращения пересекаются по параллелям, при этом, если оси поверхностей параллельны плоскости проекций, то параллели проецируются на эту плоскость прямыми линиями, перпендикулярными проекции оси.

2. Оси поверхностей вращения пересекаются и параллельны плоскости проекций.(рисунок 12.4). В этом случае нецелесообразно использовать вспомогательные секущие плоскости. Они не могут дать вспомогательные линии сечения, которые проецировались бы графически простыми линиями. Поэтому для построения линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии, параллельной плоскости проекций следует применять способ вспомогательных концентрических сфер. Если оси поверхностей вращения второго порядка пересекаются и параллельны плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде плоской кривой второго порядка.

3. Поверхности в точках касания имеют общие касательные плоскости (рисунок 12.5).

Теорема о двойном соприкосновении. Если две поверхности 2-го порядка имеют две точки соприкосновения и общие касательные плоскости в этих точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

4. Две пересекающиеся поверхности касаются третьей поверхности второго порядка (рисунок 12.6).

Теорема Г.Монжа. Если две поверхности 2-го порядка описаны вокруг третьей поверхности 2-го порядка или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым 2-го порядка.

Теорема Монжа – частный случай теоремы о двойном соприкосновении.

Основная литература: 1 осн.191-200, 2 осн. 131-145

Дополнительная литература: 1 доп.[103-116].

Контрольные вопросы:

1. Назовите основные способы построения линий пересечения поверхностей.

2. Изложите общие принципы выбора вспомогательных секущих плоскостей и сфер при построении линии пересечения поверхностей.

3. В каком случае поверхности вращения пересекаются по окружностям?

4. Какое пересечение поверхностей называют полным и неполным?

5. Какие точки линии пересечения поверхностей называют опорными (характерными)?

Л екция 13. Развертки многогранных и кривых поверхностей.

Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, которая получена совмещением всех ее граней с одной плоскостью.

Пример. Построить развертку поверхности пирамиды SABCD (рисунок 13.1).

О

Рисунок 13.1

снование АВСD пирамиды лежит в горизонтальной плоскости уровня. Поэтому его стороны на П₂ проецируются в натуральную величину. Для определения натуральных величин боковых ребер воспользуемся способом прямоугольного треугольника. Так как разности высот концов всех боковых ребер равны, то построим прямоугольные треугольники с общим катетом . Вторые катеты этих треугольников равны длинам горизонтальных проекций этих ребер. Для удобства построение натуральных величин боковых ребер вынесено на свободное поле чертежа. Совокупность треугольников , , , с общим катетом называется диаграммой натуральных величин.

Построение развертки поверхности пирамиды ясно из приведенного чертежа, на котором конгруэнтные отрезки обозначены одинаковыми значками. К развертке боковой поверхности пирамиды пристраиваем ее основание.

Построение развертки поверхности призмы выполняется тремя способами:

1) способом треугольников (триангуляции),

2) способом нормальных сечений,

3) способом раскатки.

Способ треугольников является наиболее универсальным. Он пригоден для построения точных разверток любых многогранных поверхностей, а также для построения приближенных и условных разверток линейчатых поверхностей.

Способ нормальных сечений применяется для построения разверток призматических поверхностей, если их боковые ребра являются прямыми уровня.

Развертка поверхности призмы способом нормальных сечений выполняется в такой последовательности (рисунок 13.2):

1) призма пересекается плоскостью , перпендикулярной ее боковым ребрам;

2) определяются натуральные величины сторон ломаной линии, по которой плоскость  пересекает поверхность призмы;

3) эта ломаная развертывается в отрезок прямой;

4) на перпендикулярах, проведенных к этой прямой в точках, соответственных вершинам ломаной, откладываются натуральные величины соответствующих отрезков ребер;

5) концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых;

6) к построенной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются многоугольники, равные натуральным величинам оснований призмы.

Способ раскатки – частный случай способа нормальных сечений. Он применяется для построения разверток призматических поверхностей, если их боковые ребра и плоскости оснований являются соответственно прямыми и плоскостями уровня.

Сущность способа раскатки состоит в том, что грани призмы последовательными вращениями вокруг ее боковых ребер совмещаются с какой-либо плоскостью. Получающаяся при этом фигура является разверткой боковой поверхности призмы.

Построение приближенных разверток развертывающихся поверхностей (конических, цилиндрических и торсовых) сводится к построению точных разверток многогранных поверхностей, вписанных в данные поверхности или описанных около них. Построение приближенных разверток выполняется в такой последовательности:

1) данную развертывающуюся поверхность заменяют (аппроксимируют) многогранной поверхностью;

2) строят точную развертку многогранной поверхности;

3) точную развертку аппроксимирующей многогранной поверхности принимают за приближенную развертку данной развертывающейся поверхности.

Основная литература: 1 осн.201-207, 2 осн. 105-110

Дополнительная литература: 1 доп.[117-123].

Контрольные вопросы:

1. Что называют разверткой поверхностей?

2. Какие поверхности называются развертывающимися и какие - неразвертывающимися?

3. Укажите основные свойства разверток?

4. Укажите последовательность графических построений разверток поверхностей конуса и цилиндра?

5. Что называют аппроксимацией поверхности?

6. Какие способы разверток многогранников вы знаете?

Лекция 14. Проекции с числовыми отметками. Точка, прямая, плоскость.

Проекции с числовыми отметками представляют собой ортогональные проекции объектов отображения на горизонтальную плоскость, сопровождаемые цифрами (числовыми отметками), указывающими удаление проецируемых точек объекта от горизонтальной плоскости проекций (рисунок 14.1).

Горизонтальная проекция отображаемого объекта называется его планом (рисунок 14.1б). Точки, расположенные выше плоскости нулевого уровня, имеют положительные отметки, ниже – отрицательные. Точкам, лежащим в плоскости нулевого уровня, соответствуют нулевые отметки.

Проекции с числовыми отметками наиболее рациональны при выполнении чертежей поверхностей сложных криволинейных форм, у которых вертикальные (высотные) размеры относительно невелики в сравнении с их горизонтальными параметрами. Поэтому в этих проекциях обычно выполняются чертежи топографических поверхностей.

Проекция прямой.

h_A-h_B=h – превышение точки А над точкой В(рисунок 14.2).

Проекцию отрезка АВ обозначим через L и будем называть заложением отрезка АВ.

Отношение h/L=tg=i называется уклоном прямой.

Величина обратная уклону

1/i = L/h=l – есть интервал прямой.

Интервал прямой, таким образом, определяет величину заложения, отнесенную к единице превышения прямой.

Графические действия по установлению интервала прямой называется градуированием. Проградуировать прямую – это значит определить на ее проекции точки, разность высотных отметок которых равна единице. Градуирование отрезка прямой выполняется способом пропорционального деления отрезков, с помощью палетки (палетка – трафарет, выполненный на кальке), вспомогательных графиков и т.д. (рисунок 14.3).

1. Прямые между собой параллельны, если параллельны их проекции, интервалы равны, а числовые отметки возрастают (или убывают) в одном направлении (рисунок 14.4а).

2. Прямые в пространстве - пересекающиеся, если на плане их проекции пересекаются и точка пересечения соответствует одинаковым высотным отметкам на проекциях обеих прямых (рисунок 14.4б).

3. Прямые в пространстве – скрещивающиеся, если проекции прямых и их числовые отметки не удовлетворяют условиям параллельности и пересечения.

Плоскость в ПЧО может быть задана проекциями трех точек, но лежащих на одной прямой, прямой и точки вне этой прямой, параллельными и пересекающимися прямыми и т.д. Но наиболее удобно плоскость задавать масштабом уклона.

Масштаб уклона представляет собой градуированную проекцию линии наибольшего ската плоскости. Масштаб уклона изображают двойной линией (утолщенной и тонкой) и обозначают буквой с индексом i. Проекции горизонталей плоскости на плане перпендикулярны масштабу уклона, а расстояния между соседними проекциями горизонталей (с целыми отметками) являются интервалами. Углом падения  называется угол наклона плоскости Р к плоскости П₀, образованный линией наибольшего ската АВ и ее горизонтальной проекцией Р_i.

Под направлением простирания плоскости понимают правое направление горизонталей, если смотреть в сторону возрастания отметок.

Угол составленный земным меридианом и направлением простирания, называют углом простирания . Этот угол отсчитывают от северного конца меридиана против движения часовой стрелки до направления простирания.

Параллельные плоскости. У параллельных плоскостей линии масштабов уклонов взаимно параллельны, интервалы равны и отметки возрастают в одном направлении.

Плоскости, масштабы уклона которых не удовлетворяют хотя бы одному из указанных выше условий, в пространстве взаимно пересекаются.

Основная литература: 1 осн.290-300, 2 осн. 148-152

Дополнительная литература: 1 доп.[317-318].

Контрольные вопросы:

1. Что называют уклоном и интервалом прямой?

2. Что такое градуирование прямой?

3. Что понимают под масштабом уклона плоскости?

4. Как расположены горизонтали плоскости к масштабу уклонов?

5. Какой угол называют углом падения плоскости?

6. Какой угол называют углом простирания плоскости?

Лекция 15. Позиционные и метрические задачи в проекциях с числовыми отметками.

Для построения линии пересечения двух плоскостей определяют точки пересечения двух пар их горизонталей с любыми одинаковыми отметками каждой пары (рисунок 15.1).

Если углы падения двух плоскостей одинаковы, то проекция линии их пересечения является биссектрисой угла, образованного проекциями горизонталей данных плоскостей.

Прямая принадлежит плоскости, если две любые ее точки лежат на горизонталях плоскости, т.е. имеют одинаковые с горизонталями отметки.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей плоскости.

В любых других случаях прямая пересекает плоскость. Для установления точек пересечения прямой АВ с плоскостью необходимо выполнить следующие построения:

1) через заданную прямую провести вспомогательную плоскость общего положения. Для этого через две точки прямой под любым удобным для построения углом, проводятся две горизонтали, которые и определяют вспомогательную плоскость;

2) построить линию пересечения данной и вспомогательной плоскостей (прямой MN);

3) определить искомую точку К, как точку пересечения двух прямых - данной АВ и построенной MN.

Если прямая и плоскость взаимно перпендикулярны, то на плане проекция прямой параллельна масштабу уклона (перпендикулярна к проекциям горизонталей плоскости), числовые отметки прямой и плоскости увеличиваются в противоположных направлениях, а интервал прямой l_пр по величине обратно пропорционален интервалу плоскости l_пл, т.е. l_пр = h/ l_пл. В точке К₇ восставим перпендикуляр плоскости Рi, заданной масштабом уклона (рисунок 15.3). Проведем через точку K прямую а, перпендикулярную горизонталям плоскости – проекцию перпендикуляра. Градуируем ее: для этого этого или подсчитаем интервал перпендикуляра по приведенной выше формуле, или проделаем следующие построения: через произвольно взятую точку А проведем отрезок AD, равный единице длины. Отложим отрезок BD, равный интервалу плоскости на перпендикуляре к прямой AD; соединим точки А и В. Проведем прямую АС, перпендикулярную АВ и пересекающуюся в точке С с прямой DB. Отрезок CD равен интервалу перпендикуляра.

Земная поверхность задается ее дискретным каркасом – горизонталями или профилями или и тем, и другим.

Пересечение прямой с поверхностью. Чтобы построить точку пересечения прямой с поверхностью, заключим прямую в плоскость общего положения. Для этого градуируем прямую и через точки 5,6, … проводим в произвольном направлении параллельные горизонтали, которыми и задаем плоскость. Отметив точки пересечения однозначных горизонталей плоскости и поверхности, соединим их плавной кривой, являющейся проекцией линии их пересечения. Эта кривая встречается с заданной прямой в искомой точке K.

Определение видимости прямой производится путем рассмотрения конкурирующих точек. Эти точки А и В. Отметка той из них, которая принадлежит прямой, меньше отметки точки, расположенной на горизонтали топографической поверхности, поэтому в месте кажущегося пересечения прямая невидима. Границей видимости является точка K, в которой прямая пересекается с поверхностью.

Определение границ насыпи и выемки на строительной площадке.

Пусть требуется определить границы земляных работ для создания горизонтальной строительной площадки с отметкой 68м, контур которой показан на рисунке 15.5. Уклоны откосов выемки i_в=1:1, а насыпи i_н=1:1,5. Прямолинейный въезд на площадку имеет уклон i_д=1:6.

Линия нулевых работ пройдет по 68-й горизонтали местности. Левая часть площадки будет в выемке, южная – на насыпи. Искомые границы земляных работ будут представлять собой линии пересечения топографической поверхности с откосами насыпей и выемок. Чтобы определить эти линии, необходимо построить горизонтали всех откосов. Горизонтали плоских откосов будут прямыми линиями, параллельными соответствующим сторонам площадки. Поверхность выемки, примыкающая к полукругу, представляет собой коническую поверхность, горизонталями которой будут концентрические дуги окружностей.

Горизонтали плоских откосов въезда строят с учетом того, что они проходят через наклонные бровки.

В результате каждая поверхность откосов выемки и насыпи изображена теперь своими горизонталями. Остается построить линии пересечения этих поверхностей с землей и друг с другом. Искомые линии определяются точками пересечения одноименных горизонталей рассматриваемых поверхностей.

Основная литература: 1 осн.301-321, 2 осн. 152-175

Дополнительная литература: 1 доп.[319-324].

Контрольные вопросы:

1. Что понимают под горизонталями поверхности?

2. Приведите схему построения точек пересечений прямой с поверхностью.

3. Как строится линия пересечения плоскости с топографической поверхностью?

4. Изобразите на чертеже коническую, цилиндрическую и топографическую поверхности.

5. Какое изображение называют профилем топографической поверхности?