§ 6. Актуарное накопление для страховых рент

По аналогии с актуарным накоплением , на отрезке при внесении единичной суммы в момент времени х, определим аналогичный коэффициент и для рент.

Предположим, что в начале каждого года, начиная с момента до момента , каждый представитель большой группы из человек вносит в страховой фонд по единичной сумме. На эти средства начисляются сложные проценты по ставке % годовых.

Рассмотрим два момента времени: и .

Если человек проживет лет, то он произведет платежей и сумма, наращенная к моменту времени , будет равна:

.

Учитывая, что до момента времени доживет в среднем человек, то общая накопленная сумма будет равна

.

До момента доживет в среднем человек, и наращенная сумма этих платежей будет равна:

.

Сложив последние суммы, получаем:

.

Учитывая, что к моменту в живых будет только человек, то на каждого из оставшихся в живых человек будет приходиться сумма

.(27)

называется актуарным накоплением к моменту времени n для пожизненной ренты. Величина зависит как от роста суммы, связанного с доходами от процентов (как в обычной ренте), так и от числа оставшихся в живых участников фонда, претендующих на средства фонда.

Можно получить еще одну формулу для наращенной суммы :

.

Другими словами, средняя сумма, которую накопит к моменту времени n человек в возрасте x лет, при внесении единичной суммы в начале каждого года, равна сумме актуарных накоплений при внесении единичной суммы в моменты времени .

Предположим теперь, что деньги в страховой фонд вносятся непрерывно со скоростью у.е. в год. Эти средства накапливаются в фонде в соответствии с годовой процентной ставкой %.

Вычислим накопленную (наращенную) сумму . Для этого рассмотрим промежуток времени .

Тогда сумму, накопленную к моменту времени , можно вычислить как

,

где первое слагаемое представляет собой уже собранную сумму , наращенную к моменту времени ; а второе представляет собой поступления на промежутке времени от оставшихся в живых участников фонда.

Проведем некоторые преобразования с последним равенством:

,

.

Перейдя к пределу при , получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием :

,

решение которого имеет вид:

.

Поэтому доля средств, накопленных к моменту времени , приходящихся на одного живого представителя исходной группы, будет равна:

. (28)

№ 46. Вычислите актуарную наращенную сумму при внесении (ежегодно) единичной суммы в течение пяти лет застрахованными в возрасте 30 лет. Годовая процентная ставка равна 20%.

Решение. Применим формулу (27):

Сравним эту сумму с соответствующей наращенной суммой годовой ренты пренумерандо:

.

Действительно, актуарная наращенная сумма больше соответствующей наращенной суммы обычной ренты (в 1,0076 раза).

Ответ: 8,997545.

§ 7. Премии, учитывающие издержки

Рассмотренные выше расчеты размера страховой премии были основаны на равенстве актуарных современных стоимостей обязательств застрахованного и страховой компании. Кроме того, мы в страховую премию включали и защитную надбавку, связанную с вариациями продолжительности жизни, размер которой зависит от задаваемой вероятности неразорения компании.

Такая премия обеспечивает покрытие ожидаемых страховых выплат. Однако, заключение договоров страхования и выполнение обязательств по этим договорам связаны с определенными издержками (расходами), для покрытия которых взимается еще дополнительная плата (нагрузка).

Обычно различают три вида издержек.

1. Издержки приобретения (аквизиционные расходы) связаны с приобретением страхового полиса и складываются из комиссионных страховым агентам, затрат по оформлению полиса, рекламы и т.д.

2. Издержки сборов (издержки возобновления) связаны с регулярными комиссионными расходами по инкассации страховых платежей и выплате регулярных комиссионных агенту, продавшему полис.

3. Административные издержки включают в себя расходы по обеспечению функционирования страховой компании (зарплата, налоги, аренда и т.д.), а также иные расходы, не учтенные в предыдущих пунктах.

Кроме того, по способу расчета можно издержки разделить также на три типа:

1. Прямо пропорционально страховой сумме.

2. Прямо пропорционально премии, например, комиссионные страховым агентам.

3. Не зависящие от премии и страховой суммы, например, подготовка и оформление документации.

Все эти расходы, в конечном счете, оплачивает застрахованный. Важно, чтобы это увеличение страховых премий было не произвольным, а было рассчитано определенным образом, учитывающим интересы, как клиента, так и страховой компании. Слишком большое увеличение премий ущемляет интересы клиента, а слишком малое увеличение премий может вызвать финансовые проблемы у страховой компании.

В качестве примера расчета полной премии, учитывающей издержки, рассмотрим - летнее смешанное страхование жизни. Введем предварительно следующие обозначения:

а) - издержки приобретения, и будем считать, что они оплачиваются полностью при получении первого взноса;

б) - издержки сборов, и будем считать, что они производятся равномерно в течение периода уплаты взносов (m лет);

в) - административные издержки, и будем считать, что они производятся равномерно в течение всего срока действия договора страхования (n лет).

Основным принципом, по которому рассчитываются такие премии, является принцип финансовой эквивалентности обязательств компании и клиента. Поэтому уравнение для определения периодической премии, нагруженной на издержки, имеет вид баланса: современная актуарная стоимость периодической премии равна сумме современных актуарных стоимостей страховых выплат.

А именно,

(29)

где - актуарная стоимость обязательств застрахованного; - актуарная стоимость ожидаемых страховых выплат; и - актуарные стоимости издержек сборов и административных издержек; величина страхового возмещения равна 1 у.е.

Тогда периодическая страховая премия, нагруженная на издержки, будет вычисляться по формуле:

(30)

где

- нетто-премия, к которой добавляется и защитная надбавка;

- ежегодная часть оплаты издержек приобретения;

- ежегодная часть оплаты административных издержек.

Из последней формулы следует, что застрахованный оплачивает издержки приобретения страхового полиса в рассрочку в течение всего периода уплаты страховых взносов.

Отметим, что на практике имеет место большое разнообразие страховых контрактов и способов представления издержек. Здесь мы рассмотрели лишь один из возможных способов вычисления премий, нагруженных на издержки.

№ 47. Страховая компания заключила договор пятилетнего смешанного страхования жизни с человеком в возрасте 30 лет на сумму 100000 руб. с выплатой премий в начале каждого года в течение всего срока действия договора. Заключение и поддержание договора связаны со следующими издержками:

1. Издержки приобретения: 0,3% от суммы страхового возмещения.

2. Издержки сборов: 25% от суммы страховой премии.

3. Административные издержки: 1% от суммы страхового возмещения.

Подсчитайте величину периодической премии, покрывающей указанные расходы, если годовая процентная ставка равна 20%.

Решение. Так как , , , , , , и

,

,

то искомая ежегодная премия будет равна:

или в рублях: 16531,67 руб., что на 46,11% больше периодической страховой-премии.

Ответ: 16530,67 руб.