§ 4. Страхование рент

Наиболее общая схема страхования жизни определяется последовательностью страховых выплат произвольной величины, осуществляемой страховой компанией в произвольные моменты времени, и соответствующей произвольной последовательностью страховых взносов застрахованного. Чтобы определить величину страховых взносов необходимо снова воспользоваться условием (1) финансовой эквивалентности обязательств застрахованного и страховой компании.

Рассмотрим, для определенности, вид страхования жизни, называемый страхованием рент, который применяется , например, при накопительных схемах пенсионного страхования.

При этом виде страхования застрахованный в возрасте x лет осуществляет периодические взносы страховой компании в течение n лет. Страховая компания регулярно (периодически) выплачивает страховые суммы (по достижении застрахованным возраста лет) или в течение некоторого конечного периода, или пожизненно.

Предположим сначала, что выжидательный период лет отсутствует, и выплаты производятся пожизненно. Тогда актуарная стоимость обязательств застрахованного будет равна:

а актуарная стоимость обязательств компании, по ежегодной выплате единичной суммы, будет равна актуарной стоимости отсроченной пожизненной ренты:

Следовательно,

то есть периодическая нетто-премия будет вычисляться по формуле:

(11)

Если период уплаты взносов n меньше срока отсрочки m, то величина ежегодного взноса определяется как

(11ґ)

Если договором страхования предусматриваются не пожизненные страховые выплаты, а речь идет о k – летней ренте, то формула (11ґ) примет вид

(12)

№ 43. Вычислите нетто-премию при страховании пожизненной ренты, если страховые взносы вносятся застрахованным в течение 5 лет. Выжидательный период отсутствует, возраст застрахованного - 30 лет, годовая процентная ставка равна 20%.

Решение. Применим формулу (11):

где

Вычислим параметры, входящие в эту формулу. Начнем с :

Для вычисления воспользуемся формулой (13) гл. 4:

где

Следовательно,

и искомая нетто-премия будет равна:

Ответ: 0,584373.

Аналогичным образом можно рассмотреть вопрос о страховании рент в случае, когда как премии, так и страховые выплаты, осуществляются несколько раз в год.

Здесь мы рассмотрели лишь некоторые варианты договоров страхования и пенсионных схем. Исходя из принципа финансовой эквивалентности (1) можно проанализировать и более широкий круг договоров страхования.

§ 5. Расчет защитной надбавки

5.1.Вероятность неразорения

Известно, что для защиты от случайных вариаций продолжительности жизни нетто-премия должна быть дополнена соответствующей защитной надбавкой , то есть полная нетто-премия будет равна

, (13)

где - относительная страховая надбавка.

Введем в рассмотрение случайную величину - современную стоимость убытка, связанного с одним договором страхования

, (14)

где и - современные (не актуарные) стоимости обязательств страховой компании и застрахованного. Тогда компания, имеющая портфель из договоров страхования с убытками , не разорится, если суммарный убыток будет неположительным, то есть .

Если принять за вероятность неразорения компании, то получим

, (15)

или

.

В случае нормального приближения можем написать

, (15ґ)

где

- (16)

квантиль нормального распределения.

Решив уравнение (16) относительно неизвестной , можем найти как полную премию (брутто-премию) , так и относительную страховую надбавку

Рассмотрим некоторые виды страхования жизни с периодическими брутто-премиями.