1. Множества и операции над ними
1.1. Множества. Определения, примеры. Способы задания множеств
Определение: Множество – это совокупность определенных различаемых объектов таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит объект данному множеству или нет.
Множество, которое подчиняется лишь такому ограничению, может содержать объекты почти любой природы.
Например:
- множество всех станций Московского метро;
- множество левых ботинок;
- множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и т. д.;
- множество символов, доступных специальному печатающему устройству;
- множество кодов операций конкретного компьютера.
Для большинства примеров мы будем использовать некоторые абстрактные множества, такие как множества чисел.
Множества обычно обозначают прописными буквами, например, А. Если число принадлежит множеству, то будем говорить, что “оно является элементом множества”. Например, если а является элементом множества А, то это утверждение может быть записано следующим образом:
“
”.
Утверждение “b не является элементом А” будем обозначать
“
”.
Символ
происходит от греческой буквы
.
Пример:
-
множество всех натуральных чисел: 1, 2,
3, . . . Обозначим N. Часто 0 считают
натуральным числом. Множество N с
добавлением 0 обозначается 
.
- множество всех
натуральных чисел, не превосходящих
100.
- множество всех
решений уравнения
(элементы множества
- числа, являющиеся решением).
- множество всех
чисел вида
,
где
.
Определение:
Множество
А называется подмножеством
множества В (обозначается
),
если всякий элемент А является элементом
В.
Говорят: В содержит А или покрывает А.
Определение1: Множества А и В равны, если их элементы совпадают или если это два множества, имеющие одинаковые элементы.
Определение2:
Множества
А и В равны,
если
и
.
Определение 2 указывает на наиболее
типичный метод доказательства (сначала
доказывается
,
затем обратное
.
Пример:
Тригонометрическая
теорема:
:
а) всякое решение
уравнения
имеет вид
;
б) всякое число
вида
является
решением уравнения sin x = 1
.
Определение:
Если
и
,
то А называется строгим
подмножеством
множества В (обозначается
,
- строгое включение).
Способы задания множеств
I. Перечисление (список элементов).
II. Порождающая процедура.
III. Разрешающая процедура (описание характеристических свойств, которыми должны обладать элементы).
I. Задание множества списком
Списком можно задать лишь множества, содержащие несколько элементов. Задание типа
N = 1, 2, 3 . . .
не список, а условное обозначение, допустимое, когда оно заведомо не вызывает разногласий.
Пример:
Определим А как множество все целых чисел х строго между 6 и 10. Это можно записать следующим образом:
и прочитать как : “А - множество, содержащее 7, 8, 9”.
Множества часто рассматриваются как “неупорядоченные совокупности элементов”, хотя иногда полезно подчеркнуть, что, например,
.
Мы не делаем никакой оговорки о порядке, в котором рассматриваются элементы, поэтому было бы неправильно допускать какой-либо определенный порядок.
Выясним далее, какие из приведенных определений верные:
.
Если число членов множества В легко вычисляется, и среди элементов множества нет повторений, то определение верно.
Множество С также
выглядит правильным, за исключением
лишь того, что число 6 повторяется дважды.
Мы можем проверить, принадлежит ли
элемент или нет. Таким образом, это
наиболее важное требование в определении
множества выполнено. Следовательно, мы
можем рассматривать эту запись как
верную и эквивалентную
.
Однако в этой ситуации возникают
следующие проблемы. Если мы рассмотрим
первоначальное определение С
и выбросим
одно из чисел 6 из множества, то мы,
очевидно, будем иметь
и
.
Возникает противоречие. Поэтому мы
будем рассматривать повторение символов
в определении множеств как упоминание
одного и того же символа, а его дублирование
как недосмотр.
Определение D также
справедливо. Заметим, что это множество
множеств, такое, что оно имеет только
два элемента, в частности,
,
даже если
и
.
Это легко проверить, так как
и только В и С являются элементами D.