- •I. Введение в анализ.
- •Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •Теорема о связи функции с её пределом в точке
- •Алгебраические свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последовательности
- •Сравнение функций.
- •8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентности
- •9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •Односторонний предел по Гейне
- •11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
- •Правила дифференцирования функций
- •Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
- •Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных неопределенностей
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
- •Разложение основных функций по формуле Тейлора
- •Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
- •Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс тремума функции в точке
- •Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба графика функции
- •Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
- •Полное исследование функции и построение графика функции
- •III. Неопределенный интеграл.
- •Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
- •30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
- •Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
- •Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
- •Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
- •Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Некоторые частные случаи
- •1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
- •37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с помощью тригонометрических подстановок
- •IV. Определенный интеграл.
- •Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
- •Для неопределённого интеграла
- •Для определённого
- •Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравнения
- •Несобственные интегралы I рода
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •Несобственные интегралы II рода
- •Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
- •Геометрические приложения определенного интеграла:
- •43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пластинку).
- •V. Функции многих переменных.
- •44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, непрерывность
- •2. Предел функции.
- •Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
- •Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для производной неявно заданной функции одной переменной
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора для функции двух переменных
- •Различные формы остаточного члена
- •Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точке
- •Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области
I. Введение в анализ.
-
Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.
Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу. xn a; xn b; a b. Тогда по определению существует такое число >0, что Запишем выражение: А т.к. - любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.
-
Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
-
Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
-
Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
-
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
-
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство.
-
Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
-
Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Функция называется бесконечно большой при x a или в точке a, если для любого положительного числа найдется такое положительное (), что для всех x a и удовлетворяющих условию |x-a|< будет выполнено неравенство |f(x)|> .
Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x. Приведем его в символической записи:
limxf(x) = >0 ()>0 x:|x|> |f(x)|>.
Предложение 1. (x) бесконечно малая функция при x a 1/(x) — бесконечно большая при x a
Пример. y = x2 – бесконечно малая функция при x 0 , а y = 1/x2 – бесконечно большая при x 0.
-
Теорема о связи функции с её пределом в точке
Функция не может иметь двух различных пределов в
одной точке.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
и .
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:
f(x)-A=- б.м. при ,
f(x)-B=- б.м. при .
Вычитая эти равенства, получим:
B-A=-.
Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:
B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.